Дициклопентадиен (ДЦПД)

НИИТЭХИМ предлагает купить дициклопентадиен (ДЦПД, C

₁₀H₁₂)

Узнайте цены, условия поставки и другие подробности по телефону +7 (495) 332-04-33

Описание

Дициклопентадиен – продукт полимеризии циклопентадиена. По согласованию с потребителем в дициклопентадиен вводится ингибитор Агидол-1 или Агидол-12 в количестве (0,01-0,02) % от массы товарного продукта.

Производитель

ПАО «Нижнекамскнефтехим»

Применение

Дициклопентадиен используют для получения адамантана и его производных, в производстве пестицидов, тройных этилен-пропиленовых каучуков. Дициклопентадиен применяется как модификатор синтетических смол, а также как компонент парфюмерных композиций, огнестойких добавок, модифицированных масел и других химических продуктов.

Характеристики

Наименование показателя	Норма для марки
	А	Б	В
Внешний вид	Прозрачная бесцветная или желтоватая жидкость
Массовая доля: ДЦПД – эндо, %, не менее ДЦПД – экзо, %, не более	94,0 0,8	92,0 0,8	85,0 0,8
Легких углеводородов, % масс., не более	0,5	0,5	0,5
Бензола, % масс., не более	0,2	0,2	0,2
Образующихся полимеров и смол, % масс., не более	0,50	0,50	0,50
Воды, % масс., не более	0,018	0,018	0,018
Цветность по платиновокобальтовой шкале, ед. Хазена, не более	100	100	100
Плотность при 20 оС, г/см3	0,960-0,980	0,960-0,980	0,960-0,980
Ингибитора, % масс.	0,01-0,02	0,01-0,02	—
Суммы С6, % масс., не более	—	—	10,0

ДиЦиклоПентаДиен

Высокорентабельное решение.

ДЦПД — современный материал для изготовления крупногабаритных деталей малых и больших объемов, применяемых в различных областях про-мышленности:

— Автомобильная промышленность,

ДЦПД: отвечает требованиям автомобильной промышленности для производства деталей внешнего интерьера. Равномерное окрашивание и высокое качество внешней поверхности (с помощью стандартной системы нанесения краски) достигаются с использованием обычных красителей. Элементы из ДЦПД легко окрашиваются и имеют высококачественную поверхность и красивый внешний вид.

Автомобили, автобусы: крылья, бамперы, обтекатели, спойлеры, щитки, боковые панели, запчасти для автомобилей, мотоциклы и т.п.

Использование пластиков в современных автомобилях означает прогресс в дизайне, комфорте и безопасности. В обозримом будущем ДЦПД может стать основным материалом для производства облегченных элементов с высокими механическими свойствами.

— Сельское хозяйство.

Представьте себе материал, который не ржавеет, не подвергается коррозии, даже при контакте с удобрениями, который не ломается и не расслаивается при ударе или прогибе, который сохраняет красивый внешний вид дольше, чем окрашенные стальные элементы, даже при хранении под открытым небом в течение длительного времени.

Землеройное оборудование

Представьте себе, что из этого материала можно изготовить крылья для тракторов, другие элементы для кабин или капота двигателя землеройных транспортных средств.

— Антикоррозионные детали для машин

Детали оборудования, используемого в производстве хлорных отбеливателей и каустика, такие, как крышки аккумуляторных секций из ДЦПД, создают инертный защитный барьер для электропроводных изделий. Обладают низкой теплопроводностью, высокой степенью электроизоляции, полной химической инертностью к реагентам и продуктам .

— Изделия общего назначения

Для того, чтобы выдержать многократные нагрузки в течение длительного времени, материал должен быть прочным. ДЦПД является таким оптимальным материалом для изготовления транспортных контейнеров и поддонов, если стоимость оборудования является важным фактором для выбора материала.

ДЦПД — это:

Исходные материалы для последующей обработки по технологии RIM представляют собой жидкие смолы на основе высокоочищенного ДиЦиклоПентаДиена (ДЦПД). Смешиваемые под давлением компоненты A и B в результате химической реакции образуют термореактивный полимер. Реакционное инжекционное формование (RIM) смол низкой вязкости является предпочтительной технологией производства элементов из ДЦПД. Полимеры ДЦПД обладают высокой прочностью, высокой ударопрочностью, имеют привлекательный внешний вид и устойчивы к коррозии в широком диапазоне областей применения.

Каталитическая система ДЦПД дает возможность контролировать момент начала реакции. Это позволяет «расширить» технологическое окно, увеличивая время, необходимое для заполнения формы. В свою очередь это дает возможность изготавливать крупногабаритные детали из пластиков (до 100 кг и более) за очень короткое время.

Дициклопентадиен, или ДЦПД, это продукт, получаемый в процессе парофазного термического крекинга. В чистом виде он может полимеризоваться в ходе так называемой химической реакции “диспропорционирования” (обмена), при этом образуется полимер с поперечно-сшитой 3-мерной структурой. Компоненты A и B для ДЦПД являются жидкими и содержат катализатор и со-катализатор.

Химическая реакция начинается только после смешивания двух компонентов в контролируемых условиях. Мы используем реакцию обмена в технологии Реакционного инжекционного формовании (RIM) для промышленного производства ДЦПД полимеров. Смолы ДЦПД содержат дициклопентадиен и со-мономеры, а также добавки, которые улучшают технологичность жидких смол, например путем снижения точки замерзания до 0°C. Добавки и со-мономеры тщательно выбираются для того, чтобы еще больше оптимизировать и сбалансировать свойства ДЦПД полимеров.

ДЦПД отличается от других жидких смол для систем RIM своей каталитической системой. Эта система дает возможность регулировать время гелеобразования (момент начала полимеризацииn) в соответствии с требованиями производителя и конструкцией будущей детали. Это не только обеспечивает гибкость производства, но и предлагает новые концепции для RIM технологии пластиков из смол на основе ДЦПД.

Каталитическая система ДЦПД также означает высокую скорость конверсии компонентов. Высокие термические свойства, а также отсутствие запаха готовых деталей без сомнения относятся к преимуществам этого компонента. Конструкционные пластики для широкой области применения должны обладать широким диапазоном свойств: ДЦПД не является исключением в этом смысле. Полимеры ДЦПД сочетают в себе жесткость и ударопрочность, а также характеризуются низкой плотностью.

Основные преимущества:

ДЦПД дает возможность изготавливать модули из сложных деталей и может с успехом конкурировать с традиционными высокообъемными материалами, так как обладает следующими техническими преимуществами:

Низкая стоимость деталей Высокие органолептические свойства за счет того, что можно изготавливать моноблочные конструкции Высокие эстетические свойства Целостность и геометрическая стабильность деталей Экономия веса Свобода выбора формы и участков различной толщины в одной детали Свобода выбора конструкции детали за счет использования вкладышей и вставок Низкие инвестиции в оборудование и инструменты по сравнению с другими технологиями (RRIM, SRIM и т.д.).

Свойства :

Полимеры на основе ДЦПД характеризуются уникальной жесткостью и ударной прочностью, а также низкой плотностью. Диапазон температур применения достаточно широкий: от -40°C до 110° C. Чрезвычайно высокая устойчивость к воздействию кислот и щелочей во всем диапазоне рабочих температур. Высококачественная внешняя поверхность дает возможность получить элементы с покрытием и привлекательным внешним видом путем несложной обработки. Окрашивание поверхности требуется в любом случае. Полимеры ДЦПД характеризуются отличными электроизоляционными свойствами

Оборудование Cannon для переработки ДЦПД .

ДЦПД подвергают переработке на специально подготовленных дозирующих модулях,с последующей заливкой материала в подготовленные формы.

Состав такого оборудования :

• заливочные машины высокого давления, адаптированные для переработки ДЦПД —
• технологическая оснастка, прессы, пресс-формы, тележки для прессформ 
• дополнительное вспомогательное оборудование

В настоящее время Cannon предлагает готовые производственные системы с дозирующими установками, предназначенные специально для переработки полимеров ДЦПД, с пресс-формами и дополнительным оборудованием.

Машина серии A-Compact DCPD:

Тонны серобетона

13 марта 2014
Материал опубликован в № 1–2 корпоративного журнала «Газпром»

«Газпром» выходит на рынок строительных материалов

Что можно сделать из природного газа

Ценность и экономическая эффективность инноваций неизменно возрастают, когда благодаря их использованию удается одновременно решить сразу несколько задач. Таким примером является проект «Газпрома» по разработке и внедрению производства серного модифицированного вяжущего (СМВ), а также материалов и конструкций на его основе. Реализация этого проекта позволит «Газпрому» преодолеть производственные трудности, возникающие при добыче газа на высокосернистых месторождениях, параллельно обеспечив создание и развитие в России новой перспективной подотрасли, связанной с производством стройматериалов.

Сера в дорогах

Как добывают природный газ

О комплексном эффекте нового газпромовского инновационного проекта рассказал Председатель Правления компании Алексей Миллер на заседании Президиума Совета при Президенте России по модернизации экономики и инновационному развитию 17 мая 2013 года. Он пояснил, что «основным сдерживающим фактором увеличения добычи на Астраханском и Оренбургском месторождениях является значительное количество выделяемой из газа серы в условиях ограниченного спроса на нее на внешних рынках и на внутреннем рынке. В наших институтах разработаны технологии модификации асфальта на основе серы, которые позволяют увеличить прочность и пластичность асфальта, увеличить межремонтные сроки дорог до 5–7 лет со значительным экономическим эффектом для дорожного строительства… эта технология могла бы, на наш взгляд, дать тройной эффект. Во-первых, снизить экологическую нагрузку в Астрахани и Оренбурге, где накоплены очень большие объемы серы. Во-вторых, повысить рентабельность добычи газа на этих месторождениях. И, в-третьих, существенно улучшить качество дорог, особенно в регионах с резкими перепадами температуры, а также удешевить строительство дорог».

Метод модифицирования битума серой сам по себе не новый и получил первое промышленное использование еще 100 лет назад, однако масштабные работы в этом направлении в нашей стране и за рубежом начались только в 1970-е годы. В 1986 году в СССР была даже выпущена «Инструкция по применению добавок серы в горячих асфальтобетонных смесях». В связи с известными событиями дальнейшее развитие этих проектов в России застопорилось и до практического воплощения они не дошли, но эстафету подхватил «Газпром». В 1998 году «Газпром ВНИИГАЗ» начал исследования по использованию серы в дорожном строительстве, а впервые сероасфальтобетон был уложен в октябре — декабре 2002 года при ремонте дорожного покрытия моста в Крылатском. Работы проводились в экстремальных условиях (дождь, снег, минусовые температуры), а заключительная их часть — при температуре ниже минус 20 градусов, когда укладка обычного асфальтобетона фактически невозможна. В июне 2010 года сероасфальтобетон был положен на участке 50–51 км МКАД, на что потребовалось 558 т материала. Участок благополучно выдержал даже экстремальную летнюю жару. Таким образом, опытным путем было подтверждено качественное превосходство сероасфальта, который изготавливается путем добавления в битум СМВ, перед традиционным дорожным покрытием.

В настоящее время преимущество использования СМВ в дорожном строительстве сомнений не вызывает, и не случайно на упомянутом выше заседании Председатель Правительства РФ Дмитрий Медведев поручил Министерству транспорта проработать с «Газпромом» вопрос о реализации в регионах с разным температурным режимом ряда пилотных проектов строительства дорог из сероасфальтобетона.

Материал повышенной прочности

В то же время надо отметить, что при всех достоинствах сероасфальтобетона его производство даже в промышленных масштабах не решает ключевой для «Газпрома» проблемы — перепроизводства серы при добыче газа на Астраханском и Оренбургском месторождениях. Объемы «лишней» серы, то есть той, которую невозможно реализовать, достигают 2–3 млн т в год, а в случае роста добычи на обоих месторождениях эта цифра станет еще больше. И даже если весь асфальтобетон, производимый в России, будет наполнен СМВ, на его изготовление уйдет лишь около 100–200 тыс. т серы в год. Это обусловлено тем, что процент содержания самой серы в сероасфальтобетоне крайне невелик. Как показывают исследования, содержание 40% серы является границей ее положительного влияния на свойства серного битумного вяжущего (обычная дозировка — от 10 до 30%), при этом сама доля такого вяжущего в общей консистенции асфальтобетона составляет максимум 7% (обычно 5–6%).

Учитывая этот фактор, «Газпром» параллельно с производством сероасфальтобетона намерен заняться и выпуском серобетона для строительных целей в рамках единой программы «Создание и развитие подотрасли промышленности строительных и дорожно-строительных материалов на основе серного вяжущего». Разработчиком и исполнителем программы является ООО «Газпром сера» — оператор «Газпрома» по реализации этого вида продукции. Реализация программы также направлена на достижение комплексного эффекта, позволяющего решить и чисто газпромовские задачи, и многие проблемы отечественной стройиндустрии.

Такого рода перспективы связаны с особенностями производства и применения серобетона. Как уже отмечалось, доля 16-го элемента в сероасфальте невелика. Иное дело — серобетон. Здесь сера является главным структурообразующим материалом, основным вяжущим элементом, заменяющим цемент. Ее доля в вяжущем веществе составляет свыше 90%. В настоящее время в России производится порядка 60 млн т цемента. Если стройматериалы из серы закроют хотя бы 10% рынка, то в производство будет вовлечено свыше 5 млн т этого элемента, что позволит полностью справиться с проблемой имеющегося на сегодняшний день переизбытка серы и увеличить добычу газа на высокосернистых месторождения, причем не только газпромовских.

При этом для отечественной стройиндустрии плюсы также очевидны. Помимо увеличения физических объемов выпуска стройматериалов в условиях постоянно растущего спроса на них, использование серобетона в строительной отрасли существенно повысит надежность возводимых из него объектов. Основными преимуществами серобетона в сравнении с обычным являются: быстрый набор прочности, ее сохранение и более высокие прочностные характеристики (на сжатие и на изгиб), возможность этого материала эффективно работать на растяжение, высокая химическая (коррозийная) стойкость, стойкость в кислых и солевых средах и морозостойкость, в несколько раз превосходящая традиционный бетон. К этим характеристикам можно добавить низкую теплопроводность и низкое водопоглощение, водонепроницаемость, отвердение на морозе, возможность вторичной переработки, незначительную усадку и высокую адгезию (эффект сцепления поверхностей разнородных тел). Здесь, как и в случае с сероасфальтом, мы видим, что серобетон дает фору своему собрату из портландцемента (далее цемента) в отношении более высокой надежности сделанных из него конструкций, а также проведения самих работ. Обычный бетон нельзя класть на морозе (либо его надо специально разогревать), тогда как серобетон отвердевает при любой температуре в диапазоне от плюс 40 до минус 40.

Свойства серобетона являются следствием его внутренней структуры, которая довольно подробно изучена североамериканскими учеными. Сера без добавления наполнителя представляет собой вещество с гомогенной структурой, что означает плотное расположение молекул относительно друг друга. Присутствие наполнителя приводит к тому, что молекулы серы «скрепляют» молекулы наполнителя и заполняют внутренние пространства получаемого вещества таким образом, что пористость становится почти незаметной (даже под микроскопом).

Низкая пористость серобетона во многом обусловила сферы его применения. Это касается использования серобетона как основного материала для хранилищ отходов, коллекторов сточных вод, очистительных установок, свай, труб, канализационных лотков, различных сборных конструкций, словом, всех подземных инженерных коммуникаций, а также морских сооружений и плотин. Для газовой промышленности серобетон также может быть интересен, являясь идеальным материалом для строительства пригрузов (утяжелителей бетонных охватывающих, УБО) для газопроводов, дорожных плит и свай, которые используются при обустройстве месторождений, и т. д.

Стоит добавить, что серобетон удобен и в изготовлении. Любой, кому хотя бы раз приходилось делать строительный раствор, знает, что требуется три компонента: цемент, песок и вода. Для приготовления серобетона вода не нужна, да и песок можно использовать практически любой. Если в случае с цементом требуется песок, крупность которого должна быть 2,4, то для серобетона этот показатель может быть меньше 1. Иными словами, для серобетона годятся пылеватые пески, по сути дела барханные, а вот обычный бетон на таком песке развалится. Выходит, что качественные конструкции или сооружения можно производить на местных материалах.

Астрахань ждет ОПП

Однако необходимо отметить, что свойства серобетона в большей степени, нежели в случае с цементным бетоном, зависят от соблюдения технологического процесса и контроля качества входного сырья на всех этапах производства. В настоящее время строительные материалы на основе серы в нашей стране производятся небольшими фирмами, как правило, в кустарных условиях. Эти производства могут подпортить репутацию материалов на основе серы. В результате такого дилетантского подхода и отсутствия точного оборудования, способного регулировать нагрев смеси в пределах плюс-минус 1 градус, «кустарные» серобетоны могут, достигнув температуры 150 градусов, выделять сероводород и сернистый ангидрид — газы, которые обладают нервно-паралитическим действием и представляют угрозу для человека. Поэтому особую актуальность приобретает создание производств, которые могут выпускать большие объемы серобетона в строгом соответствии с технологическими стандартами.

Именно в этом направлении сейчас и двигается «Газпром сера». На первом этапе стоит задача создания функционального комплекса опытно-промышленного производства (ОПП). На его базе будут выполняться: разработка составов и производство СМВ, смесей серобетонов и сероасфальтов, отработка технологий производства материалов и конструкций на основе серы, проектирование и промышленные испытания конструкций, материалов, машин, оборудования. Сотрудниками предприятия в настоящее время осуществляются НИОКР и разработка нормативно-технической документации, касающейся производства новых видов продукции, а также планируется обучение специалистов, которые в дальнейшем будут задействованы в производстве материалов и конструкций из серы. Словом, это будет научно-исследовательский и образовательный центр, испытательный полигон и производственное предприятие в одном лице. По словам заместителя начальника Департамента маркетинга, переработки газа и жидких углеводородов ОАО «Газпром», генерального директора «Газпром сера» Марата Гараева, «ОПП предполагается оснастить новейшим оборудованием на основе экологически безвредных и безлюдных технологий. Основными видами выпускаемой и реализуемой продукции станут СМВ в гранулированном виде (сейчас разработчики ориентируются на объемы порядка 120 тыс. т в год, которые со временем могут быть увеличены), серобетонные и сероасфальтовые смеси, плиты для покрытия временных и постоянных дорог, сваи квадратного сечения с ненапрягаемой арматурой, охватывающие утяжелители газопроводов. Все виды конструкций будут изготавливаться строго в соответствии с ГОСТом».

К настоящему времени специалисты «Газпром серы» совместно с институтом «ЛЕННИИГИПРОХИМ» подготовили ТЭО, обоснование инвестиций и основные технические решения по каждому из производств. В ближайшее время должен пройти конкурс по выбору проектировщика предприятия. Проектирование и выход на площадку строительства должны быть завершены в текущем году, а ввод в эксплуатацию предприятия ожидается в 2016-м. Местом его дислокации намечена Астрахань, в перспективе предполагается появления таких предприятий и в Оренбурге.

Это будет следующий этап программы — развитие сети производителей серосодержащих материалов и изделий из них. На этой стадии потребуется государственная поддержка. Основная помощь, которую могли бы оказать органы власти, — это включение проекта по использованию серы в народном хозяйстве в федеральную целевую программу. Это позволит участникам программы привлекать кредиты на льготных условиях, а признание серосодержащих материалов инновационными даст возможность их производителям получить налоговые послабления. Эта тема была обсуждена на встрече генерального директора «Газпром сера» Марата Гараева и заместителя министра экономического развития РФ Андрея Клепача 21 августа 2013 года, по итогам которой в текущем году можно будет ожидать положительного результата.

Николай Хренков

Справка

Серное модифицированное вяжущее (СМВ) — это минеральное термопластическое вещество, изготовленное из технической серы и модификатора. Способ его получения включает в себя расплавление серы в среде двуокиси углерода, нагревание расплава до температуры 135–140 °С и добавление в него модификатора в виде ненасыщенных органических соединений (олефиновых углеводородов), в частности, дициклопентадиена, в пропорции 93–98% — сера, 2–7% — модификатор. Добавление модификаторов позволяет регулировать свойства серы — снижать температуру плавления, замедлять кристаллизацию, улучшать совместимость с наполнителями. В итоге полученное таким образом вещество становится прочным (не ломается, не рвется) и пластичным.

Серобетон — это композиционный строительный материал, в состав которого входит серное вяжущее, инертные заполнители и наполнители. Спектр применения инертных заполнителей и наполнителей широк. В этом качестве могут использоваться щебень, песок, гравий, металлургические шлаки и прочие породы, применяемые для традиционного бетона.

Серобетон начали активно исследовать в Северной Америке в 70-х годах ХХ века, когда было доказано, что серобетон и сероасфальт безопасны для окружающей среды. Позднее, уже в 1980–1990-х годах, с увеличением добычи углеводородов выросла и добыча серы как продукта, сопутствующего нефти и газу. Поиск новых методов использования серы стали вести крупные нефтяные и газовые компании. В результате появились новые разработки по производству и применению бетона и асфальта на основе серного вяжущего. Уже тогда были выявлены его преимущества по отношению к традиционному бетону на основе портландцемента. Позже экспериментально было установлено, что предпочтительно использование модифицированной серы.

 

Сравнительная характеристика свойств серного и портландцементного бетонов

Наименование свойства (испытания)	Серобетон	Бетон
Влагостойкость	1,0	0,8
Химическая стойкость (к кислотам), %	84	23
Морозостойкость (при 100% влажности)	300	50
Истираемость, %	3	17
Прочность на сжатие, МПа	55–65	15–25
Прочность на изгиб, МПа	10–15	6–9
Прочность на растяжение, МПа	5–7	3–4
Время набора прочности	3 часа	28 суток

 

В Москве открылся проектный офис развития Арктики

«Проектный офис развития Арктики» — экспертный центр, презентация которого прошла в четверг в Москве, создан для поддержки проектов развития Арктической зоны России. Проектный офис будет реализовывать различные программы по всей территории Арктической зоны, поддерживая молодых ученых и распространяя информацию об Арктике среди широкой аудитории.

Как отметил гендиректор центра Борис Тарасов, «Российская Арктика огромна, и задачи, стоящие перед «ПОРА», масштабны». По его словам, с одной стороны, есть много информации о регионе, с другой, — еще живы стереотипы об Арктике как о регионе холода с белыми медведями. Эти стереотипы важно преодолевать, считает Борис Тарасов.

Он представил миссию центра, основные направления работы и один из первых проектов, которым станет разработка рейтинга устойчивого развития «Полярный индекс».

Координатор программ центра Александр Стоцкий рассказал о грантах для молодых ученых, которые учреждает «ПОРА». Он также презентовал проект центра — Дискуссионный клуб, в работе которого будут принимать участие эксперты — известные ученые, исследователи Арктики, государственные и общественные деятели.

Эксперт программы «ПОРА» «Комфортная среда», помощник секретаря Общественной Палаты РФ Александр Водяник рассказал об особенностях формирования комфортной среды в арктических городах, ее специфике и особым требованиям к инфраструктуре.

На мероприятии присутствовали заместитель председателя Комитета Госдумы РФ по экономической политике, промышленности, инновационному развитию и предпринимательству Денис Кравченко,  сопредседатель Экологической палаты РФ Владимир Коптев-Дворников, член президиума РАН, академик Юрий Дгебуадзе, ученые, эксперты, представители партнерских организаций.

“В августе 2017г. я принял участие в юбилейной десятой экспедиции, посвященной 40-летию покорения Северного полюса атомным ледоколом «Арктика» и буквально заболел темой Арктики, — поделился с присутствующими Денис Кравченко. «Желаю «ПОРА» доброго пути, всегда можете рассчитывать на нашу поддержку», — отметил Кравченко.

В ходе презентации подписано первое для экспертного центра соглашение о сотрудничестве между «ПОРА» и «Фондом поддержки социальных проектов». Директор Фонда Евгения Шохина заявила о готовности совместной деятельности по обучению и поддержке предпринимательских инициатив для жителей Крайнего Севера.

(PDF) Terpolymerization as a model oligomerization C9 fraction liquid products of pyrolysis gasoline

121

Как видно из данных табл. 1 и 2, в составе

нефтеполимерной смолы имеются повторяющиеся

звенья стирола и его призводных, ДЦПД, индена и

его производных. Состав нефтеполимерной смолы

соответствует модельным терполимерам,

обогащенным ДЦПД, полученным в сходных

условиях.

Таблица 1 – Расчет состава терполимеров ДЦПД,

стирола и индена

Состав мономерной сме-

си, мол.д.

Условия по-

лучения

Состав терполимера по

данным ЯМР-1Н —

спектроскопии, мол.д.

ДЦПД Стирол Инден

Растворитель

– толуол;

Катализатор

TiCl4 –

Al(C2H5)2Cl

ДЦПД Стирол Инден

0,721 0,141 0,139 0,878 0,122 0

0,587 0,276 0,137 0,875 0,125 0

0,461 0,271 0,268 0,980 0,020 0

0,340 0,134 0,526 0,377 0,604 0,019

0,340 0,266 0,394 0,499 0,501 0

0,223 0,131 0,646 0,271 0,471 0,258

0,222 0,262 0,516 0,330 0,564 0,106

0,222 0,392 0,386 0,267 0,674 0,059

0,222 0,521 0,257 0,278 0,591 0,131

0,221 0,651 0,128 0,265 0,735 0

0,109 0,129 0,762 0,119 0,266 0,615

0,109 0,257 0,634 0,143 0,418 0,439

0,109 0,385 0,506 0,147 0,522 0,331

0,109 0,512 0,379 0,162 0,598 0,240

0,109 0,639 0,252 0,102 0,531 0,367

0,109 0,766 0,125 0,121 0,740 0,139

Обогащение исходного сырья как

индивидуальными мономерами (инденом,

винилтолуолом, -метилстиролом), так и стиролами

на стадии подготовки сырья (дистилляция фракции

С9, температура выкипания до 160 С), приводит к

соответствующему увеличению содержания этих

компонентов в составе НПС (табл. 2).

Таблица 2 – Расчеты брутто-состава элементар-

ного звена нефтеполимерных смол, полученных

их фракции С9, катализатор – TiCl4-Al(C2H5)2Cl

Содержание мономеров во фрак-

ции С9, мол.д.

Растворитель

Состав элементарного

звена, мол.д.

ДЦПД

Стирол

Инден

α-Метил-

стирол

Винил-

толуол

ДЦПД

Стиролы

Инден

0,16 0,21 0,035 0,025 0,075

Толу-

ол 0,864 0,033 0,103

0,16 0,21 0,035 0,025 0,075

Гек-

сан 0,717 0,210 0,073

0,14 0,2 0,083 0,02 0,073

Толу-

ол 0,6481 0,1055

0,246

4

0,15 0,205 0,049 0,022 0,074

Толу-

ол 0,7197 0,1364

0,143

9

0,05 0,1 0,12 0,18 0,05

Толу-

ол 0,0671 0,4279 0,505

0,12 0,18 0,05 0,02 0,13

Толу-

ол 0,3916 0,455

0,153

4

На состав образующихся нефтеполимерных

смол, как и следовало ожидать, влияют условия их

получения. Из одного и того же сырья в гексане

образуется смола, обогащенная производными

стирола, по сравнению со смолой, полученной в

толуоле.

Состав исходной смеси непредельных соеди-

нений имеет определяющее значение для выхода и

свойств конечных продуктов, образующихся при ка-

тионной полимеризации фракции С9 и модельных сме-

сей мономеров, составляющих ее основу. Так, напри-

мер, увеличение относительного содержания стиролов

в исходной смеси приводит к снижению цвета полу-

ченных нефтеполимерных смол, и наоборот, обогаще-

ние исходной смеси инденом и/или дициклопентадие-

ном приводит к получению более темных нефтеполи-

мерных смол. Повторяющиеся звенья, образованные

инденом и дициклопентадиеном, имеют в своем соста-

ве напряженные 5-ти членные циклы и непредельные

связи, которые легко подвергаются окислению на воз-

духе, и как следствие, углублению цвета таких смол.

Добавки индена и винилтолуола в исходное

сырье повышают температуру размягчения полу-

чаемых нефтеполимерных смол и их молекулярную

массу. Напротив, добавки -метилстирола приводят

к снижению этих параметров.

Увеличение содержания в исходной смеси

мономеров ДЦПД приводит к протеканию процес-

сов сшивки и окисления в структуре НПС [10]. Про-

цессы структурирования олигомеров и окисления

ненасыщенных связей в олигомерах сопровождают-

ся положительным тепловым эффектом, причем на

воздухе фиксируются четкие границы процессов

сшивки и окисления ненасыщенных связей, в то

время как в инертной атмосфере выделяется один

экзотермический пик при 120 С, относящийся к

процессу структурирования (рис. 4).

Рис. 4 – Кривые дифференциальной сканирую-

щей калориметрии олигомерных продуктов: 1 –

фракции С9; 2 – терполимера дициклопентадиен-

стирол-инден; 3 – терполимера дициклопентади-

ен-винилтолуол--метилстирол; 4 – терполимера

дициклопентадиен--метилстирол-инден

Увеличение в сырье содержания дицикло-

пентадиена свыше 35 % (в пересчете на мономеры)

приводит к получению смол, содержащих большее

количество двойных связей.

Выводы

Из полученных результатов следует, что

свойства покрытий на основе НПС, синтезирован-

ных в различных условиях, изменяются в широких

МОРОЗ И СОЛНЦЕ

– Вот наш материал с добавлением нанотрубок, а вот с армированной основой из углеткани, – показывает полимерные пластины аспирант Томского политехнического университета Юрий Донцов. – А этот образец без добавок недавно испытали в термокамере и выяснили, что при –30 °С прочность материала в среднем увеличивается в 1,5 раза.

Кого не знает Google

На столе перед ним полимер, который в общем-то еще никто в мире, кроме узкого круга специалистов, не держал в руках. Томские химики готовы предложить рынку новый материал, который не только прекрасно себя чувствует при экстремально низких температурах, но еще и «не стареет» от воздействия ультрафиолета и кислорода, а при введении наноструктурированных добавок и армировании обретает дополнительные свойства.

– Мы его называем «сшитый полидиметилэндикат», – говорит Юрий Донцов. Но если вбить это слово в Google или «Яндекс», то ничего не найдешь. – Это понятно, – не удивляется он. 

– По нему есть лишь несколько успешных диссертаций у наших политехников. Видимо, Google о них еще не знает. Работа над новым полимером велась на двух площадках: в НИОСТе (R&D-центр компании «СИБУР») и международной научно-образовательной лаборатории «Термореактивные полимеры». Ее создание – совместный проект СИБУРа и Томского политехнического университета. Лабораторию возглавляет ученый с мировым именем – доктор наук, профессор Гентского университета (Бельгия) Френсис Верпоорт.

Новый полимер производится из базового мономера – дициклопентадиена, который, в свою очередь, извлекается из побочной продукции пиролиза нефтехимического сырья.

– Это квалифицированное использование отходов, – говорит куратор разработки кандидат химических наук Алексей Ляпков. – В нашем случае из жидких продуктов пиролиза выделяется индивидуальный мономер, на основе которого и создаются новые полимеры. В России этого практически никто не делает, побочные продукты используют преимущественно для производства нефтеполимерных смол, и вся линейка мономеров, которая там содержится, полимеризуется в общей массе. В итоге получают лакокрасочные материалы, а чаще – добавки к битумам. Но это, по сути, укрывание такого типа отходов в дорожное полотно, тогда как из них можно извлекать индивидуальные элементы и использовать для производства более сложных изделий.

Кувалдой его

Насколько сложных – можно понять из видеоролика, который Алексей Ляпков демонстрирует на своем компьютере. Ролик длится 12 минут – ровно столько заняли подготовка оборудования и производство капота для автомобиля из полидициклопентадиена (ПДЦПД), материала, близкого по свойствам «томскому» полимеру и послужившего отправной точкой при его создании.

Небольшая производственная установка европейского завода Telen. Под негромкую музыку рабочий выдает автомату задание. Пресс-форма смыкается, в нее подается густая темная масса – смесь мономера с катализатором. В течение нескольких минут идет полимеризация. 

Остается только вынуть изделие и убрать облой (излишки материала, остающиеся на детали). Получается капот. Вещь, если она изготовлена из традиционных для автопрома материалов, довольно уязвимая: может помяться от упавшей ветки или чьей-то хулиганской выходки.

Но то, что происходит в кадре дальше, разрушает шаблоны: человек берет в руки кувалду и роняет ее в ударе на блестящую поверхность капота. Кувалда отскакивает, не оставив следов. Улыбка в камеру. Изделия из ПДЦПД и композиции на его основе получаются не только ударопрочные, они еще не проводят электричество и активно применяются в автомобильной, трубной и строительной отраслях.

– Мы с ПДЦПД начинали, – говорит Алексей Ляпков, – и сейчас делаем и изучаем композиты на его базе. Но есть у него слабое место: ПДЦПД довольно быстро окисляется. И без специальных добавок под воздействием кислорода и солнечных лучей вот эти связи (он наскоро рисует молекулярную схему на лабораторном столе) рушатся, изделие трескается и становится желтым. Мы его модифицировали, добавив в мономер кислородные звенья. Провели полимеризацию и выяснили, что от проблемы старения удалось уйти.

Алексей Ляпков говорит о работе своей лаборатории в течение последних пяти-шести лет. Если совсем коротко, томские химики применили в своих решениях реакцию метатезиса. Она, по мнению экспертов, отменяет границы в органической химии и позволяет так же легко обращаться с химическими связями, как если бы они были нарисованы на бумаге.

На определенном этапе томские разработчики пришли к еще одному решению: стали добавлять в видоизмененный мономер сшивающие агенты – вещества, которые помогают создать именно сетчатую, а не линейную молекулярную структуру материала в процессе полимеризации. Понятно, что любая ткань прочнее отдельных ниток, из которых она состоит. 

Вот такая «сшивка» отдельных молекулярных цепочек в пространственную сетку и происходит. И теперь речь идет именно о сшитом полидиметилэндикате, «о котором еще не знает Google». После серии успешных испытаний можно говорить, что в Томске получили конструкционный материал нового направления.

Готовь сани

– По своим свойствам он не уступает ПДЦПД и в то же время оптически более стойкий. Вот эти образцы у нас пролежали в камере светового старения 30 дней, а это сопоставимо с эксплуатацией в обычных условиях в течение нескольких лет. Свойства материала практически не изменились. А при испытании нового полимера при температуре –30 °С оказалось, что его прочность даже в 1,2–1,5 раза выше той, что материал проявляет при комнатной температуре. То же можно сказать, сравнивая прочность нового материала на морозе с ПДЦПД, – продолжает Алексей Ляпков.

Новый полимер технологичен и имеет почти неограниченный потенциал при производстве пластиковых изделий способом, аналогичным тому, что продемонстрировал в видеоролике улыбчивый европеец. Сделать можно все – от малогабаритных деталей до объемных корпусных элементов. Правда, на вопрос о массовом производстве Алексей иронично улыбается.

– Сложно переломить идеологию современных производителей бытовой техники, легковых автомобилей, – говорит он. – Представьте бампер, с которым ничего не происходит, даже если вы основательно задели его о бордюр. Его же менять не нужно! Возможно, я преувеличиваю, но мало какой производитель массовых авто пойдет на это. Наш полимер мы позиционируем для другого класса техники. Это карьерные самосвалы, другие спецсредства с потенциально большим сроком эксплуатации, которые работают в экстремальных условиях, когда заменить деталь, провести качественный ремонт проблематично.

К томским химикам этим летом обратились производители дорожных ограждений из Кемерова. Одна из их топовых позиций – пластиковые разграничители, которые устанавливают на дороге во время ее ремонта. Ожидания кемеровчан связаны с тем, что дорожные блоки, если их изготовить из нового полимера, отлично выдержат сибирские морозы и не потрескаются. Кстати, температура стеклования для нового материала, когда он становится хрупким, лежит в границе +140 °С, а мороз для него – нормальная среда, в которой полимер чувствует себя комфортно. Дополнительные возможности, связанные с применением сшитого полидиметилэндиката, увидели для себя и производители оборотной тары.

– Мы ищем решение для снижения веса пластиковой тары без потери ее прочности, – говорит Вячеслав Сельсков, директор по маркетингу и продажам нижнекамской компании iPlast. – Обратились к томским разработчикам с запросом относительно применения нового материала. Если удастся снизить вес тары хотя бы на 10, то наши клиенты смогут дополнительно перево­зить полезного груза в фуре на 500–600 кг больше.

Пена из полимера

Материал может найти применение и в Арктическом проекте, над которым также работает команда ученых Томского политеха. В Международном арктическом научном сибирском центре, созданном на его базе, занимаются проблемами разработки шельфа. В лабораториях университета проектируют глубоководные аппараты, часть конструкций химики предлагают делать из нового полимера.

А сочетание таких его свойств, как прозрачность, светостойкость и прочность, заинтересовало производителей комплектующих для военной техники. Новый полимер они видят в качестве материала для колб светодиодных ламп на панелях управления.

Навигационный буй в Арктике из вспененного полимера? Пока сложно себе представить такое решение в силу его ненадежности в экстремальных условиях. Но если его сделать из материала, который стоек к ультрафиолету и отлично переносит низкие температуры, то можно говорить о новом тренде в области вспененных материалов.

Над тем, как «вспенить» полидиметилэндикат, один из участников проекта Петр Хахулин поработает в ближайшее время совместно с австрийскими учеными в Венском университете. Дополнительные возможности для своего материала томские ученые видят в совмещении интересов производственных компаний и наукоемкой поддержки новых индустриальных решений.

– Мы в этой истории предлагаем базовую технологию, которую производственники могут взять на вооружение для решения своих уникальных задач, не говоря уже о том, что данная разработка позволяет формировать образовательную научную среду для индустрии конструкционных материалов в России, – добавляет Алексей Ляпков.

Есть важный нюанс технологии, которую применили в Томске при полимеризации хорошо известного миру полидициклопентадиена, а также нового полимера – сшитого полидиметилэндиката. В обоих случаях томские химики используют в работе рутениевый катализатор. По сравнению с другими вариантами он менее чувствителен ко всяким добавкам, позволяет проводить полимеризацию в воде и открывает новые возможности по управлению как самой реакцией, так и свойствами производимых полимеров.

– К сожалению, в России синтезом такого катализатора практически никто не занимается, это вопрос будущего. Сейчас на кафедре мы развиваем компетенции по новым каталитическим системам, идет совместная работа с экспертом международного уровня Френсисом Верпоортом. Уже есть группа молодых ученых, которые занимаются синтезом универсальных катализаторов органического синтеза. По сути, это современный тренд в органической технологии, – говорит доктор химических наук, заведующий кафедрой технологии органических веществ и полимерных материалов Томского политехнического университета Мехман Юсубов.

Источник: neftehimia-journal.ru

Восстановить базу данных на другой хост с помощью Legato и EBU

Восстановить базу данных на другой хост с использованием легато и EBU

Ступеньки Legato
Установить только клиент легато (сервер не требуется) на новом узле и скопируйте usr / opt / networker / bin / libobk.so в /usr/shlib/libobk.so. NSR_CLIENT должен быть настроен на имя хоста чьи данные восстанавливаются. Например, Если база данных находится на HOST_A и имеет были скопированы на ленты на HOST_B, и выполняется восстановление на HOST_C, тогда NSR_CLIENT должен быть A (на легатонном жаргоне называется клиентом).NSR_SERVER должен быть настроен на имя хоста, который делал резервную копию данных клиента. Таким образом, в приведенном выше примере NSR_SERVER будет B (называемый сервером на легком жаргоне). C должен быть определен в списке удаленного доступа клиента A на HOST_B.

Ступени EBU
Создайте каталоги, в которых находятся файлы данных. будет восстановлен. Настройте структуру OFA на новом хосте и скопируйте init.ora, config.ora файлы. Создайте ссылку в каталоге ORACLE_HOME / dbs для init.ora файл.Добавьте запись в / etc / oratab и /etc/ORACLE.PROFILE для базы данных. Измените init.ora и config.ora, чтобы отобразить новые каталоги. Если ссылка не created, то необходимо указать параметр startup_pfile, чтобы указать местоположение файла параметров, который будет использоваться
EBU scipt должен иметь следующий вид для последнее холодное восстановление базы данных. db_name не используется для определения базы данных быть восстановленным. ORACLE_SID определяет это.
восстановить базу данных
db_name = «DTSPD»
backup_host = host_b
параллельно = 3
переименовать
remap_path = «/ dts / oradata / DTSPD» в «/ disk3 / oradata / DTSPD», «/ its / oradata / DTSPD» в «/ disk3 / oradata / DTSPD»
archivelog = «/ disk3 / oradata / DTSPD»
журнал = «/ пользователи / оракул / dba / legato / журнал / restore_dtspd.бревно»
remap_path параметр должен использоваться для указания каталогов, в которых файлы должны быть восстановлены. Один целевой каталог можно указать для каждого исходного каталога.
переименовать параметр должен использоваться для автоматического переименования файлов данных и журналов в контрольном файле. Поскольку EBU сначала переименовал онлайн-журналы повторения, а затем файлы данных, поэтому если фиктивный (потому что ни EBU, ни Rman не создают резервные копии онлайн-журналов повторного выполнения) онлайн-журналы повторного выполнения не созданный до восстановления, автоматическое переименование не будет выполнено.В этом case либо создал новый контрольный файл, используя сценарий резервного копирования, создания controfile или переименуйте все файлы данных вручную, используя alter database rename file команда.
backup_host параметр должен использоваться для указания хоста, на котором была сделана резервная копия, которая восстанавливается. Таким образом, в нашем примере это будет HOST_B. (Протестируйте это)

Есть вопрос Oracle
До у вас есть вопрос Oracle?

Oracle Книги
Сертификат Oracle, Справочники по администрированию баз данных, SQL, приложениям и программированию

Приложение Oracle
Оракул Советы и подсказки по применению

Oracle Home
Оракул База данных, SQL, Приложение, Советы по программированию

Все содержимое сайта защищено авторским правом © www.erpgreat.com и авторы контента. Все права защищены.
Все названия продуктов являются товарными знаками соответствующих компании.
Сайт www.erpgreat.com не является аффилированным лицом и не одобрен любой компанией, представленной на этом сайте.
Прилагаются все усилия для обеспечения целостности контента. Вы используете информацию на этом сайте на свой страх и риск.
Воспроизведение содержимого этого сайта запрещено. или распространять без явного письменного разрешения
www.erpgreat.com или авторов контента.

Police DTS | Полицейская служба и сверхурочная логистика

Система отслеживания полицейской службы

Когда людям нужна помощь, они звонят в полицию, когда полиции нужна помощь, они звонят в полицию DTS

Система подробного отслеживания ™ — это безопасная облачная система американского производства. Система для полицейских агентств, позволяющая эффективно и прозрачно управлять невероятной задачей ДЕТАЛИ, ПЕРЕРАБОТКИ и ПОСЕЩЕНИЯ, выплаты средств.

Наша система использует новейшие технологии безопасности и удобна для мобильных устройств из любого места и с любого устройства, имеющего доступ в Интернет! Вам не нужно покупать серверы или инфраструктуру!

Это полностью безопасная облачная система, как и онлайн-банкинг! Мы гарантируем, что эта система сократит ваши административные накладные расходы как минимум на 50-80%

«Система отслеживания деталей», принадлежащая SYSTEMWORKS, LLC, является продуктом для облачных приложений американского производства.

Наша компания находится в штате Массачусетс и имеет клиентов по всей стране.

Система отслеживания подробностей полиции чрезвычайно уникальна, поскольку включает в себя единственный в своем роде встроенный проприетарный автоматизированный алгоритм, также известный как «внутренний механизм». Эта функция позволит отделам более чем в 10 раз сэкономить время, необходимое для раскрытия подробностей и сверхурочных. OIC больше не нужно вызывать отдельных офицеров, потому что внутренний механизм обращается к офицерам, чтобы делегировать задания в зависимости от их допустимых часов и стажа.

«Внутренний механизм» настроен для отдела в соответствии с их CBA Союза или политиками отдела и в фоновом режиме запускается каждые 60 секунд в качестве контрольного сигнала системы, обеспечивающего искусственный интеллект для выполнения этих трудоемких задач.

Одна из наших целей — помочь отделам сократить огромные административные накладные расходы, связанные с детализацией и делегированием сверхурочных, а также выставлением счетов поставщикам за небольшую часть затрат, которые в настоящее время исчерпываются, безопасным, прозрачным и точным образом.

Кроме того, время, сэкономленное отделом, может освободить ответственных сотрудников, что сделает их более доступными для нужд общественной безопасности и избавит их от ненужной бумажной работы и телефонных звонков.

SYSTEMWORKS, LLC — компания из Массачусетса, обязанная предоставить уникальную реализацию нашего автоматизированного механизма награждения, в отличие от всего, что существует, поэтому мы не создали официальную дилерскую сеть, и SystemWorks, LLC является единственным источником продуктовой линейки Detail Tracking System. .

ОСОБЕННОСТИ

1. АВТОМАТИЧЕСКАЯ ВЫПЛАТА РАСЧЕТОВ!

2. АВТОМАТИЧЕСКИЕ ВЫПЛАТЫ НА СРОК!

3. РАСПИСАНИЕ ОБРАЩЕНИЯ ПОСЕЩЕНИЙ!

4. ОСТАВИТЬ ЗАПРОСЫ И РАЗРЕШЕНИЯ!

5. АВТОМАТИЧЕСКИЙ ОТПУСК!

6. СИСТЕМА ГРУППОВОГО УВЕДОМЛЕНИЯ E11

1. ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ ПРОДАВЦА!

2. ФИНАНСОВЫЙ ОТЧЕТ И СТАРЕНИЕ!

3. ОТЧЕТЫ О РАСЧЕТАХ С ЭКСПОРТОМ CSV!

4. ПОДРОБНЫЙ ПОРТАЛ ЗАКАЗА ПРОДАВЦА!

5. ПОМОЩЬ ВЗАИМНОЙ ПОМОЩИ ДЛЯ НЕЗАПОЛНЕННЫХ!

6. ПОЛИТИКА И СОБЛЮДЕНИЕ!

Процессы и ресурсы DTSDE | Департамент образования штата Нью-Йорк

Принципы эффективных школьных систем и практик DTSDE

Принцип 1 — Системы и организация : Эффективные школы создают общешкольные системы и структуры, которые способствуют постоянному совершенствованию и успеху всех учащихся.

Принцип 2 — Школьное лидерство: Дальновидные лидеры создают школьное сообщество и культуру, которые ведут к успеху, благополучию и высоким академическим результатам для всех учащихся.

Принцип 3 — Учебный план : Эффективные школы предоставляют учащимся строгие, последовательные и соответствующие учебные программы, которые готовят всех учащихся к успеху.

Принцип 4 — Инструкция: Эффективные учителя взаимодействуют со студентами таким образом, чтобы они развивали мастерство и позволяли студентам расширять свои знания и углублять понимание.

Принцип 5 — Социально-эмоциональное обучение: Эффективные школы разрабатывают системный подход к социально-эмоциональному обучению, чтобы гарантировать, что все учащиеся могут развивать социально-эмоциональные навыки обучения, необходимые для успеха в школе и за ее пределами.

Принцип 6 — Вовлечение родителей и общества: Эффективные школы разрабатывают систематический подход к вовлечению семьи и сообщества, чтобы дать родителям возможность эффективно выступать за обучение своего ребенка и за улучшение школы.

Структура DTSDE

DTSDE Framework описывает эффективные методы, организованные в соответствии с принципами DTSDE. Структура представляет собой справочный инструмент, помогающий школам изучать практику и участвовать в рефлексивном диалоге для улучшения практики.

Этапы внедрения DTSDE

«Фазы реализации DTSDE» — это сопутствующий документ к DTSDE Framework. В то время как Рамки служат справочником для систематизации мыслей преподавателей о различных практиках эффективных школ, этапы реализации служат инструментом, помогающим педагогам в планировании, поскольку они рассматривают соответствующие последующие шаги для школы.

SEC.gov | Превышен порог скорости запросов

Чтобы обеспечить равный доступ для всех пользователей, SEC оставляет за собой право ограничивать запросы, исходящие от необъявленных автоматизированных инструментов. Ваш запрос был идентифицирован как часть сети автоматизированных инструментов за пределами допустимой политики и будет обрабатываться до тех пор, пока не будут приняты меры по объявлению вашего трафика.

Укажите свой трафик, обновив свой пользовательский агент, включив в него информацию о компании.

Для лучших практик по эффективной загрузке информации из SEC.gov, включая последние документы EDGAR, посетите sec.gov/developer. Вы также можете подписаться на рассылку обновлений по электронной почте о программе открытых данных SEC, включая передовые методы, которые делают загрузку данных более эффективной, и улучшения SEC.gov, которые могут повлиять на процессы загрузки по сценарию. Для получения дополнительной информации обращайтесь по адресу [email protected].

Для получения дополнительной информации см. Политику конфиденциальности и безопасности веб-сайта SEC. Благодарим вас за интерес к Комиссии по ценным бумагам и биржам США.

Код ссылки: 0.67fd733e.1628030024.25ac31ee

Дополнительная информация

Политика безопасности в Интернете

Используя этот сайт, вы соглашаетесь на мониторинг и аудит безопасности. В целях безопасности и обеспечения того, чтобы общедоступная услуга оставалась доступной для пользователей, эта правительственная компьютерная система использует программы для мониторинга сетевого трафика для выявления несанкционированных попыток загрузки или изменения информации или иного причинения ущерба, включая попытки отказать пользователям в обслуживании.

Несанкционированные попытки загрузить информацию и / или изменить информацию в любой части этого сайта строго запрещены и подлежат судебному преследованию в соответствии с Законом о компьютерном мошенничестве и злоупотреблениях 1986 года и Законом о защите национальной информационной инфраструктуры 1996 года (см. Раздел 18 U.S.C. §§ 1001 и 1030).

Чтобы обеспечить хорошую работу нашего веб-сайта для всех пользователей, SEC отслеживает частоту запросов на контент SEC.gov, чтобы гарантировать, что автоматический поиск не влияет на возможность доступа других лиц к контенту SEC.gov. Мы оставляем за собой право блокировать IP-адреса, которые отправляют чрезмерное количество запросов. Текущие правила ограничивают пользователей до 10 запросов в секунду, независимо от количества машин, используемых для отправки запросов.

Если пользователь или приложение отправляет более 10 запросов в секунду, дальнейшие запросы с IP-адреса (-ов) могут быть ограничены на короткий период.Как только количество запросов упадет ниже порогового значения на 10 минут, пользователь может возобновить доступ к контенту на SEC.gov. Эта практика SEC предназначена для ограничения чрезмерного автоматического поиска на SEC.gov и не предназначена и не ожидается, чтобы повлиять на людей, просматривающих веб-сайт SEC.gov.

Обратите внимание, что эта политика может измениться, поскольку SEC управляет SEC.gov, чтобы гарантировать, что веб-сайт работает эффективно и остается доступным для всех пользователей.

Примечание: Мы не предлагаем техническую поддержку для разработки или отладки процессов загрузки по сценарию.

1. Введение

AAA Аннотация и прикладной анализ 1687-04091085-3375 Hindawi Publishing Corporation 57596410.1155 / 2013/575964575964 Исследовательская статья Решения и улучшенный анализ возмущений для матричного уравнения XA * X-pA = Q (p> 0) 0000-0001-9843-550 Математика и статистика, Шаньдунский университет Вэйхай, Вэйхай 264209Chinasdu.edu.cn201326201320131611201202052013070520132013 Авторские права © Jing Li, 2013. Это статья в открытом доступе, распространяемая под лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе. правильно процитировано.

Исследуется нелинейное матричное уравнение X-A * X-pA = Q с p> 0. Мы рассматриваем два случая этого уравнения: случай p≥1 и случай 0

1. Введение

В данной статье мы рассматриваем эрмитово положительно определенное решение нелинейного матричного уравнения (1) X-A * X-pA = Q, где A, Q и X — комплексные матрицы размера n × n, Q — положительно определенная матрица и p> 0. Этот тип нелинейных матричных уравнений возникает при анализе лестничных сетей, динамическом программировании, теории управления, стохастической фильтрации, статистике и многих приложениях [1–7].

В последние несколько лет (1) исследовали в некоторых особых случаях. Для нелинейных матричных уравнений XA * X-1A = Q [8–12], XA * X-2A = Q [13, 14], XA * X-nA = Q [15, 16] и Xs-A * X -tA = Q [17], в литературе было много статей, посвященных разрешимости, численным решениям и анализу возмущений. Кроме того, соответствующие уравнения X + A * X-1A = Q [9–11, 18–23], X + A * X-2A = Q [13, 24, 25], X + A * X-nA = Q [16, 26], Xs + A * X-tA = Q [17, 27–30], X + A * X-qA = Q [31–33] и X ± ∑i = 1mAi * X-1Ai = Q [34–36] изучались многими учеными.

В [31] было предоставлено достаточное условие для того, чтобы уравнение X-A * X-pA = Q (0

Как продолжение предыдущих результатов, остальная часть статьи организована следующим образом. В разделе 2 приведены некоторые предварительные леммы, которые потребуются для развития этой работы. В разделе 3 выводится новое достаточное условие того, что уравнение (1) с p≥1 имеет единственное положительно определенное решение.В разделе 4 дается оценка возмущения для положительно определенного решения (1) при p≥1. В разделе 5, применяя интегральное представление матричной функции, мы также обсуждаем явные выражения числа обусловленности для положительно определенного решения (1) при p≥1. Кроме того, в разделе 6 дается новая более точная оценка возмущения для единственного положительно определенного решения (1) при 0

Обозначим через 𝒞n × n множество комплексных матриц размера n × n, через ℋn × n множество эрмитовых матриц размера n × n, через I — единичную матрицу, через · — спектральную норму, через ∥ · ∥F — матрицу Фробениуса. norm, а через λmax (M) и λmin (M) — максимальное и минимальное собственные значения матрицы M соответственно. Для A = (aij) ∈𝒞n × n со столбцами ai и матрицей B, A⊗B = (aijB) — произведение Кронекера, а vecA — вектор, определяемый формулой vecA = (a1T,…, anT) T. Для X, Y∈ℋn × n мы пишем X≥Y (соотв., X> Y), если X-Y эрмитово положительно полуопределенное (соответственно определенное). Пусть κ¯ = λmax (A * A), κ_ = λmin (A * A).

2. Предварительные сведения

В этом разделе мы процитируем некоторые предварительные леммы, которые мы используем позже.

Лемма 1 (см. [39, лемма 3.2]).

Для любой положительно определенной матрицы X∈ℋn × n и 0

X-p = (sinpπ / π) ∫0∞‍ (λI + X) -1λ-pdλ.

(ii)

X-p = (sinpπ / pπ) ∫0∞‍ (λI + X) -1X (λI + X) -1λ-pdλ.

Лемма 2 (см. [39, теорема 2.5]).

Существует единственное положительно определенное решение X уравнения X-A * X-pA = Q (0

0, Xn = Q + A * Xn-1-pA, n = 1,2,… сходится к X.

Лемма 3 (см. [32, лемма 2]).

(i) Если X∈ℋn × n, то ∥e-X∥ = e-λmin (X).

(ii) Если X∈ℋn × n и r> 0, то X-r = (1 / Γ (r)) ∫0∞‍e-sXsr-1ds.

(iii) Если A, B∈𝒞n × n, то eA + B-eA = ∫01‍e (1-t) ABet (A + B) dt.

3. Достаточное условие существования единственного решения XA * X-pA = Q (p ≥ 1)

В этом разделе мы выводим новое достаточное условие существования единственного решения XA * X-pA = Q (p≥1) начиная с леммы.

Лемма 4 (см. [38, теорема 5, замечание 4]).

Если (3) β> (pκ¯) 1 / (p + 1), то уравнение (1) имеет единственное положительно определенное решение X∈ [βI, αI], где α и β являются, соответственно, положительными решениями следующих уравнений: (4) (x-λmax (Q)) (λmin (Q) + κ_xp) p = κ¯, (5) (x-λmin (Q)) (λmax (Q) + κ¯xp) p = κ_.

Более того, (6) λmin (Q) ≤β≤α.

Теорема 5.

Если (7) ((pκ¯) 1 / (p + 1) -λmin (Q)) (λmax (Q) + κ¯ (pκ¯) p / (p + 1)) p <κ _, (8) (λmin (Q) p) p / (p + 1) λmax1 / (p + 1) (Q) (κ¯) 1 / (p + 1) + 1-p> 0, то (1) имеет единственное положительно определенное решение.

Доказательство.

Сначала докажем β> (pκ¯) 1 / (p + 1), где β — положительное решение уравнения (5). Позволять (9) f (x) = (x-λmin (Q)) (λmax (Q) + κ¯xp) p-κ_. Вычислением получаем (10) f ′ (x) = κ¯xp (λmax (Q) + κ¯xp) p-1 × (λmax (Q) κ¯xp + p2λmin (Q) x-1 + 1-p2). Определять (11) g (x) = λmax (Q) κ¯xp + p2λmin (Q) x-1 + 1-p2. Тогда g (x) убывает на [0, λmin (Q) pκ¯ / (λmax (Q)) 1 / (p + 1)] и возрастает на [λmin (Q) pκ¯ / (λmax (Q)) 1 / (p + 1), + ∞), откуда следует, что (12) gmin = g ((λmin (Q) pκ¯λmax (Q)) 1 / (p + 1)) = (1 + p) ((λmin (Q) p) p / (p + 1) λmax1 / (p + 1) (Q) (κ¯) 1 / (p + 1) + 1-p).Согласно условию (8) следует, что gmin> 0. Обратите внимание, что (13) f ′ (x) = κ¯xp (λmax (Q) + κ¯xp) p-1g (x), откуда следует, что f (x) возрастает на (0, + ∞). Учитывая условие (7), видим, что f ((pκ¯) 1 / (p + 1)) <0. Комбинируя это с определением β из леммы 4, получаем β> (pκ¯) 1 / (p + 1). По лемме 4 уравнение (1) имеет единственное положительно определенное решение.

4. Оценка возмущения для XA * X-pA = Q (p ≥ 1)

Ли и Чжан в [39] доказали, что всегда существует единственное положительно определенное решение уравнения XA * X-pA = Q (0

Предположим, что матрица коэффициентов A возмущена до A ~ = ΔA + A. Пусть X ~ = ΔX + X, ΔX∈ℋn × n, удовлетворяющее возмущенному уравнению (14) X ~ -A ~ * X ~ -pA ~ = Q, p≥1.

Далее мы выводим оценку возмущения для положительно определенного решения матричного уравнения X-A * X-pA = Q (p≥1), начиная с леммы.

Лемма 6 (см. [38, следствие 1. Замечание 4]).

Если (15) p∥A∥2 <λminp + 1 (Q), то (1) имеет единственное положительно определенное решение X.Кроме того, X≥λmin (Q) I.

Теорема 7.

Если (16) A∥ <λminp + 1 (Q) p, ∥ΔA∥ <λminp + 1 (Q) p-∥A∥, потом (17) X-A * X-pA = Q, X ~ -A ~ * X ~ -pA ~ = Q имеют единственные положительно определенные решения X и X ~ соответственно. Более того, (18) X ~ -X∥∥X∥≤ (2∥A∥ + ∥ΔA∥) λminp + 1 (Q) -p∥A∥2∥ΔA∥≡ϱ.

Доказательство.

Из (16) следует, что ∥A ~ ∥≤∥A∥ + ∥ΔA∥≤λmin (p + 1) (Q) / p. Согласно лемме 6 условие (16) гарантирует, что (1) и (14) имеют единственные положительно определенные решения X и X ~ соответственно.Кроме того, получаем, что (19) X≥λmin (Q) I, X ∼ ≥λmin (Q) I. Вычитание (14) из (1) дает (20) ΔX = A ~ * X ~ -pA ~ -A * X-pA = A * (X ~ -p-X-p) A + ΔA * X ~ -pA + A ~ * X ~ -pΔA. По лемме 3 и неравенствам (19) имеем (21) ΔX + A * X-pA-A * X ~ -pA∥ = ∥ΔX + A * 1Γ (p) ∫0∞‍ (e-sX-e-sX ~) sp-1dsA∥ = ∥ΔX + A * 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) sX ~ ΔXe-tsXdtspdsA∥ ≥∥ΔX∥-∥A∥2∥ΔX∥Γ (p) ∫0∞‍∫01‍∥e- (1-t) sX ~ ∥∥e-tsX∥dtspds ≥∥ΔX∥-∥A∥2∥ΔX∥Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) sλmin (X ~) e -tsλmin (X) dtspds ≥∥ΔX∥-∥A∥2∥ΔX∥Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) sλmin (Q) e-tsλmin (Q) dtspds = ∥ΔX ∥-∥A∥2∥ΔX∥Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e-sλmin (Q) dtspds = ∥ΔX∥-Γ (p + 1) Γ (p) · ∥A∥2∥ΔX∥λminp + 1 (Q) = λminp + 1 (Q) -p∥A∥2λminp + 1 (Q) ∥ΔX∥.Учитывая (16), имеем (22) λminp + 1 (Q) -p∥A∥2> 0. Комбинируя (20) и (21), видим, что (23) λminp + 1 (Q) -p∥A∥2λminp + 1 (Q) ∥ΔX∥≤∥ΔA * X ~ -pA + A ~ * X ~ -pΔA∥≤ (∥ΔA∥ + 2∥A∥ ) ∥ΔA∥∥X ~ -p∥≤ (∥ΔA∥ + 2∥A∥) ∥ΔA∥λmin-p (Q), откуда следует, что (24) ∥ΔX∥∥X∥≤ (∥ΔA∥ + 2∥A∥) λminp + 1 (Q) -p∥A∥2∥ΔA∥.

5. Число условий для X-A * X-pA = Q (p ≥ 1)

Число условий — это мера чувствительности положительно определенных стабилизирующих решений к небольшим изменениям в матрицах коэффициентов.В этом разделе мы применим теорию числа обусловленности, разработанную Райсом [40], чтобы получить явные выражения числа обусловленности для матричного уравнения X-A * X-pA = Q (p≥1).

Здесь мы рассматриваем возмущенное уравнение (25) X ~ -A ~ * X ~ -pA ~ = Q ~, p≥1, где A ~ и Q ~ — малые возмущения A и Q в (1) соответственно.

Предположим, что p∥A∥2 <λminp + 1 (Q) и p∥A ~ ∥2 <λminp + 1 (Q ~). Согласно лемме 6 уравнения (1) и (25) имеют единственные положительно определенные решения X и X ~ соответственно.Пусть ΔX = X ~ -X, ΔQ = Q ~ -Q и ΔA = A ~ -A.

Вычитание (25) из (1) дает (26) ΔX = A ~ * X ~ -pA ~ -A * X-pA + ΔQ = A * (X ~ -pXp) A + ΔA * X ~ -pA + A ~ * X ~ -pΔA + ΔQ = — A * 1Γ (p) ∫0∞‍ (e-sX-e-sX ~) sp-1dsA + ΔA * X ~ -pA + A ~ * X ~ -pΔA + ΔQ = -A * 1Γ (p) ∫0 ∞‍∫01‍e- (1-t) sX ~ (X ~ -X) e-tsXdtspdsA + ΔA * X ~ -pA + A ~ * X ~ -pΔA + ΔQ = -A * 1Γ (p) ∫0∞‍ ∫01‍ (e- (1-t) sX ~ -e- (1-t) sX) × ΔXe-tsXdtspdsA + ΔQ -A * 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) sXΔXe-tsXdtspdsA — (A ~ * X-pΔA-A ~ * (X + ΔX) -pΔA) + A ~ * X-pΔA- (ΔA * X-pA-ΔA * (X + ΔX) -pA) + ΔA * X- pA = A * 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍∫01‍e- (1-m) (1-t) sXΔXe-m (1-t) sX ~ × ΔXe-tsXdm (1-t) dtsp + 1dsA + ΔQ -A * 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) sXΔXe-tsXdtspdsA + ΔA * X-pΔA + A * X-pΔA + ΔA * X-pA -A ~ * 1Γ (p) ∫ 0∞‍∫01‍e- (1-t) s (X + ΔX) ΔXe-tsXdtspdsΔA -ΔA * 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) s (X + ΔX) ΔXe-tsXdtspdsA.Следовательно, (27) ΔX + A * 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) sXΔXe-tsXdtspdsA = E + h (ΔX), куда (28) B = X-pA, E = ΔQ + (B * ΔA + ΔA * B) + ΔA * X-pΔA, h (ΔX) = A * 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍∫01‍e- (1 -m) (1-t) sX × ΔXe-m (1-t) sX ~ ΔXe-tsX × dm (1-t) dtsp + 1dsA -A ~ * 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1 -t) s (X + ΔX) ΔXe-tsXdtspdsΔA -ΔA * 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) s (X + ΔX) ΔXe-tsXdtspdsA.

Лемма 8.

Если (29) p∥A∥2 <λminp + 1 (Q), то линейный оператор V: ℋn × n → ℋn × n, определенный формулой (30) VW = W + 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍A * e- (1-t) sXWe-tsXAdtspds, 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍A * e- (1-t) sX We- tsXAdtspdsW∈ℋn × n обратимо.

Доказательство.

Определим оператор R: ℋn × n → ℋn × n следующим образом: (31) RZ = 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍A * e- (1-t) sXZe-tsXAdtspds, ∫0∞‍∫01‍A * e- (1-t) sXZe -tsXAdtspdsZ∈ℋn × n,

следует, что (32) VW = W + RW.

Тогда V обратимо тогда и только тогда, когда I + R обратимо.

Согласно лемме 3 и условию (29) имеем (33) RW∥ ≤∥A∥2∥W∥1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍∥e- (1-t) sX∥∥e-tsX∥dtspds = ∥A∥2∥W∥1Γ ( p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) sλmin (X) e-tsλmin (X) dtspds ≤∥A∥2∥W∥1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍e- (1-t) sλmin (Q) e-tsλmin (Q) dtspds = ∥A∥2∥W∥1Γ (p) ∫0∞‍e-sλmin (Q) spds = p∥A∥2λminp + 1 (Q) ∥W∥ <∥W∥ , откуда следует, что ∥R∥ <1 и I + R обратимо.Следовательно, оператор V обратим.

Таким образом, (27) можно переписать в виде (34) ΔX = V-1ΔQ + V-1 (B * ΔA + ΔA * B) + V-1 (ΔA * X-pΔA) + V-1 (h (ΔX)),

(35) ΔX = V-1ΔQ + V-1 (B * ΔA + ΔA * B) + O (∥ (ΔA, ΔQ) ∥F2), (ΔA, ΔQ) ⟶0.

Согласно теории числа обусловленности, развитой Райсом [40], мы определяем число обусловленности эрмитова положительно определенного решения X матричного уравнения X-A * X-pA = Q (p≥1) следующим образом: (36) c (X) = limδ → 0sup∥ (ΔA / η, ΔQ / ρ) ∥F≤δ∥ΔX∥Fξδ, где ξ, η и ρ — положительные параметры.Взяв ξ = η = ρ = 1 в (36), получим абсолютное число обусловленности cabs (X), а взяв ξ = ∥X∥F, η = ∥A∥F и ρ = ∥Q∥F в (36), получим относительное число обусловленности crel (X).

Подставляя (35) в (36), получаем (37) c (X) = 1ξmax (ΔA / η, ΔQ / ρ) ≠ 0ΔA∈𝒞n × n, ΔQ∈ℋn × n∥V-1 (ΔQ + B * ΔA + ΔA * B) ∥F∥ (ΔA / η, ΔQ / ρ) ∥F = 1ξmax (E, H) ≠ 0E∈𝒞n × n, H∈ℋn × n∥V-1 (ρH + η (B * E + E * B)) ∥F∥ ( E, H) ∥F. Пусть V — матричное представление линейного оператора V. Это следует из леммы 4.3.2. в [41] что (38) vec (VW) = V · vecW.По лемме 4.3.1. в [41] имеем (39) vec (VW) = (I⊗I + 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍ (e-tsXA) T⊗ (A * e- (1-t) sX) dtspds) I + 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍ (e-tsXA) T⊗ (A * e- (1-t) sX) dtspds. · VecW.

Затем, (40) V = I⊗I + 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍ (e-tsXA) T ⊗ (A * e- (1-t) sX) dtspds.

Позволять (41) V-1 = S + iΣ, V-1 (I⊗B *) = V-1 (I⊗ (X-pA) *) = U1 + iΩ1, V-1 (BT⊗I) Π = V -1 ((X-pA) T⊗I) Π = U2 + iΩ2, Sc = [S-ΣΣS], Uc = [U1 + U2Ω2-Ω1Ω1 + Ω2U1-U2], (42) vecH = x + iy, vecE = a + ib, g = (xT, yT, aT, bT) T,

где x, y, a, b∈ℛn2, S, Σ, U1, U2, Ω1, Ω2∈ℛn2 × n2, M = (E, H), i = -1, Π — матрица vec-перестановок, т. е. , (43) vecET = ΠvecE.

Кроме того, получаем, что (44) c (X) = 1ξmaxM ≠ 0∥V-1 (ρH + η (B * E + E * B)) ∥F∥ (E, H) ∥F (45) = 1ξmaxM ≠ 0∥ρV-1vecH + ηV-1 × ((I⊗B *) vecE + (BT⊗I) vecE *) ∥) × (∥vec (E, H) ∥) -1 = 1ξmaxM ≠ 0∥ρ (S + iΣ) (x + iy) + η [(U1 + iΩ1) (a + ib) + (U2 + iΩ2) (a-ib)] ∥ × (∥vec (E, H) ∥) -1 = 1ξmaxg ≠ 0∥ (ρ Sc, ηUc) g∥∥g∥ = 1ξ ∥ (ρSc, ηUc) ∥, E∈𝒞n × n, H∈ℋn × n.

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 9.

Если p∥A∥2 <λminp + 1 (Q), то число обусловленности c (X), определенное формулой (36), имеет явное выражение (46) c (X) = 1ξ∥ (ρSc, ηUc) ∥, где матрицы Sc и Uc определены формулами (40) - (41).

Замечание 10.

Из (46) следует относительное число обусловленности (47) crel (X) = ∥ (∥Q∥FSc, ∥A∥FUc) ∥∥X∥F.

5.1. Реальный случай

В этом подразделе мы рассматриваем реальный случай, то есть, когда все матрицы коэффициентов A, Q матричного уравнения X-A * X-pA = Q (p≥1) являются действительными. В таком случае соответствующее решение X также является действительным. Рассуждения, аналогичные теореме 9, дают следующую теорему.

Теорема 11.

Пусть A, Q вещественны, c (X) — число обусловленности, определенное формулой (36).Если p∥A∥2 <λminp + 1 (Q), то c (X) имеет явное выражение (48) c (X) = 1ξ∥ (ρSr, ηUr) ∥, куда (49) Sr = (I⊗I + 1Γ (p) ∫0∞‍∫01‍ (e-tsXA) T ⊗ (ATe- (1-t) sX) dtspds1ξ), - 1Ur = Sr [I⊗ (ATX- р) + ((ATX-p) ⊗I) Π].

Доказательство.

Пусть (50) Sr = V-1, Ur = V-1 ((I⊗BT) + (BT⊗I) Π) Ur = Sr ((I⊗ (X-pA) T) + ((X-pA) T ⊗I) Π) vecH = x, vecE = a, g = (xT, aT) T, где x, a, ∈ℛn2, M = (E, H), i = -1, Π — матрица vec-перестановок, т.е. (51) vecET = ΠvecE. Из (44) следует, что (52) c (X) = 1ξmaxM ≠ 0∥V-1 (ρH + η (BTE + ETB)) ∥F∥ (E, H) ∥F = 1ξmaxM ≠ 0∥ρV-1vecH + ηV-1 ((I ⊗BT) vecE + (BT⊗I) vecET) ∥ × (∥vec (E, H) ∥) -1 = 1ξmaxg ≠ 0∥ (ρSr, ηUr) g∥∥g∥ = 1ξ∥ (ρSr, ηUr) ∥.

Замечание 12.

В реальном случае относительное число обусловленности дается выражением (53) crel (X) = ∥ (∥Q∥FSr, ∥A∥FUr) ∥∥X∥F.

6. Новая граница возмущения для X-A * X-pA = Q (0

Здесь мы рассматриваем возмущенное уравнение (54) X ~ -A ~ * X ~ -pA ~ = Q ~, 0

В этом разделе мы разработаем новую оценку возмущения для решения (1), более точную, чем в [39, теорема 3.1].

Вычитая (1) из (54), используя лемму 1, имеем (55) ΔX + sinpππ∫0∞‍ [(λI + X) -1A] * × ΔX [(λI + X) -1A] λ-pdλ = E + h (ΔX), куда (56) B = X-pA, E = ΔQ + (B * ΔA + ΔA * B) + ΔA * X-pΔA, h (ΔX) = sinpππA * ∫0∞‍ (λI + X) -1 × ΔX (λI + X + ΔX) -1 × ΔX (λI + X) -1λ-pdλA -sinpππA ~ * ∫0∞‍ (λI + X) -1ΔX (λI + X + ΔX) -1λ-pdλΔA -sinpππΔA * ∫0∞ ‍ (λI + X) -1ΔX (λI + X + ΔX) -1λ-pdλA.По лемме 5.1 из [39] линейный оператор L: ℋn × n → ℋn × n, определенный формулой (57) LW = W + sinpππ∫0∞‍ [(λI + X) -1A] * × W [(λI + X) -1A] λ-pdλ, W∈ℋn × n обратимо.

Мы также определяем оператор P: 𝒞n × n → ℋn × n следующим образом: (58) PZ = L-1 (B * Z + Z * B), Z∈𝒞n × n, i = 1,2,…, m. Таким образом, мы можем переписать (55) в виде (59) ΔX = L-1ΔQ + PΔA + L-1 (ΔA * X-pΔA) + L-1 (h (ΔX)). Определять (60) ∥L-1∥ = maxW∈ℋn × n∥W∥ = 1∥L-1W∥, ∥P∥ = maxZ∈𝒞n × n∥Z∥ = 1∥PZ∥. Обозначим теперь (61) l = ∥L-1∥-1, ζ = ∥X-1∥, ξ = ∥Xp∥, n = ∥P∥, η = pξ∥A∥2, ϵ = 1l∥ΔQ∥ + n∥ ΔA∥ + ξl∥ΔA∥2, σ = plζξ (2∥A∥ + ∥ΔA∥) ∥ΔA∥.

Теорема 13.

Если (62) σ <1, ϵ Доказательство.

Пусть (64) f (ΔX) = L-1ΔQ + PΔA + L-1 (ΔA * X-pΔA) + L-1 (h (ΔX)). Очевидно, что f: ℋn × n → ℋn × n непрерывно. Условие (62) обеспечивает выполнение квадратного уравнения (65) ζ (l + η) x2-l (1 + ζϵ-σ) x + lϵ = 0 в x имеет два положительных действительных корня. Меньший — (66) μ * = 2lϵl (1 + ζϵ-σ) + l2 (1 + ζϵ-σ) 2-4lζϵ (l + η).Определим Ω = {ΔX∈ℋn × n: ∥ΔX∥≤μ *}. Тогда для любого ∆X∈Ω согласно (62) имеем (67) ∥X-1ΔX∥ ≤∥X-1∥∥ΔX∥ ≤ζμ * ≤ζ · 2ϵ1 + ζϵ-σ = 1 + ζϵ + σ-11 + ζϵ-σ ≤1 + (ζ · l (1- σ) 2 / ζ (l + lσ + 2η + 2 (lσ + η) (η + l)) + σ-1 (lσ + η) (η + l)) × (1 + ζϵ-σ) -1 ≤ 1 + l (1-σ) 2+ (σ-1) (l + lσ + 2η) (l + lσ + 2η) (1 + ζϵ-σ) = 1 + -2 (1-σ) (lσ + η ) (lσ + l + 2η) (1 + ζϵ-σ) <1. Отсюда следует, что IX-1ΔX неособо и (68) ∥I-X-1ΔX∥≤11-∥X-1ΔX∥≤11-ζ∥ΔX∥. Следовательно (69) ∥f (ΔX) ∥ ≤1l∥ΔQ∥ + n∥ΔA∥ + ξl∥ΔAi∥2 + plζξ∥A∥2∥ΔX∥21-ζ∥ΔX∥ + plζξ (2∥A∥ + ∥ΔA ∥) ∥ΔA∥ · ∥ΔX∥1-ζ∥ΔX∥ ≤ϵ + σ∥ΔX∥1-ζ∥ΔX∥ + ηζ∥ΔX∥2l (1-ζ∥ΔX∥) ≤ϵ + σμ * 1-ζμ * + ηζμ * 2l (1-ζμ *) = μ *, для ΔX∈Ω, в котором последнее равенство связано с тем, что μ * является решением (65).Это f (Ω) ⊆Ω. Согласно теореме Шаудера о неподвижной точке существует ΔX * ∈Ω такое, что f (ΔX *) = ΔX *. Отсюда следует, что X + ∆X * - эрмитово решение уравнения (54). По лемме 2 мы знаем, что решение (54) единственно. Тогда ΔX * = X ~ -X и ∥X ~ -X∥≤μ *.

7. Новая обратная ошибка для XA * X-pA = Q (0

В этом разделе мы оцениваем новую обратную оценку ошибки для приближенного решения единственного решения, которая более точна, чем в [39, Теорема 4.1].

Теорема 14.

Пусть X ~> 0 — приближение к решению X уравнения (1). Если ∥X ~ -p / 2A∥2∥X ~ -1∥ <1 и невязка R (X ~) ≡Q + A * X ~ -pA-X ~ удовлетворяет (70) ∥R (X ~) ∥≤θ12min {1, θ12λmin (X ~)}, где θ1 = (1-∥X ~ -p / 2A∥2∥X ~ -1∥) λmin (X ~) + ∥ R (X ~) ∥> 0, то (71) ∥X ~ -X∥≤θ∥R (X ~) ∥, где θ = 2λmin (X ~) θ1 + θ12-4λmin (X ~) ∥R (X ~) ∥.

Для доказательства приведенной выше теоремы сначала проверим следующую лемму.

Лемма 15.

Для любой положительно определенной матрицы X∈ℋn × n, 0

0, то (72) ∥A * ((X + ΔX) -p-X-p) A∥ ≤p (∥ΔX∥ + ν∥ΔX∥2) ∥X-p / 2A∥2∥X-1∥.

Доказательство.

Из леммы 1 следует, что (73) A * ((X + ΔX) -pXp) A∥ = ∥A * (sinp ππ∫0∞‍ ((λI + X + ΔX) -1 (λ I + X) -1) × λ- pdλ) A∫0∞‍∥ ≤sinpππ (∥A * ∫0∞‍ (λI + X) -1ΔX (λI + X) -1λ-pdλ A∥) + sinpππ (∥A * ∫0∞‍ (λI + X) -1ΔX (λI + X + ΔX) -1 × ΔX (λI + X) -1λ-pdλ A∫0∞‍∥).

Обратите внимание, что ΔX≤∥ΔX∥I, X + ΔX≥ (1 / ν) I> 0 и Xp = (sinpπ / pπ) ∫0∞‍ (λI + X) -1X (λI + X) -1λ-p dλ имеем (74) A * ∫0∞‍ (λI + X) -1ΔX (λI + X) -1λ-pdλ A∥ = ∥A * ∫0∞‍ (λI + X) -1XX-1ΔX (λI + X) -1λ-pdλ A∥ ≤∥A * ∫0∞‍ (λI + X) -1X (λI + X) -1λ-pdλ A∥∥X-1∥∥ΔX∥ = pπsin (pπ) · ∥A * X -pA∥∥X-1∥∥ΔX∥, (75) ∥A * ∫0∞‍ (λI + X) -1ΔX (λI + X + ΔX) -1 × ΔX (λI + X) -1λ-pdλA∫ 0∞‍∥ = ∥A * ∫0∞‍ (λI + X) -1XX-1 × ΔX (λI + X + ΔX) -1ΔX (λI + X) -1λ-pdλA∫0∞‍∥ ≤∥A * (∫0∞‍ (λI + X) -1X (λI + X) -1λ-pdλA) ∥ · ν∥ΔX∥2∥X-1∥ = pπsin (pπ) · ∥A * X-pA∥ · ν∥ ΔX∥2∥X-1∥.

Комбинация (73) — (75) дает (76) ∥A * ((X + ΔX) -pXp) A∥ ≤p∥A * X-pA∥∥X-1∥∥ΔX∥ + p∥A * X-pA∥ν∥ΔX∥2∥X -1∥ = p (∥ΔX∥ + ν∥ΔX∥2) ∥Xp / 2A∥2∥X-1∥.

Здесь мы использовали результат ∥A * X-pA∥ = ∥ (Xp / 2A) * (Xp / 2A) ∥ = ∥Xp / 2A∥2, чтобы получить последнее равенство (см. [42, проблема 11. Стр. 312]).

Доказательство теоремы 14.

Пусть (77) Ψ = {ΔX∈ℋn × n: ∥ΔX∥≤θ∥R (X ~) ∥}.

Очевидно, — непустое ограниченное выпуклое замкнутое множество.Позволять (78) g (ΔX) = A * ((X ~ + ΔX) -p-X ~ -p) A + R (X ~).

Очевидно, g: Ψ↦ℋn × n непрерывна. Условие (70) обеспечивает выполнение уравнения (79) y2 — [(1-∥X ~ -p / 2A∥2∥X ~ -1∥) λmin (X ~) + ∥R (X ~) ∥] y + λmin (X ~) ∥R (X ~) ∥ = 0

в y имеет два положительных действительных корня. Меньшее из них y * = 2λmin (X ~) ∥R (X ~) ∥ / θ1 + θ12-4λmin (X ~) ∥R (X ~) ∥, где θ1 = (1-∥X ~ -p / 2A ∥2∥X ~ -1∥) λmin (X ~) + ∥R (X ~) ∥.

Докажем, что g (Ψ) ⊆Ψ. Для любого ΔX∈Ψ имеем (80) ΔX≥-θ∥R (X ~) ∥I.

Следовательно, (81) X ~ + ΔX≥X ~ -θ∥R (X ~) ∥I≥ (λmin (X ~) -θ∥R (X ~) ∥) I.

Используя (70) и (71), видим, что (82) θ∥R (X ~) ∥ = 2λmin (X ~) ∥R (X ~) ∥θ1 + θ12-4λmin (X ~) ∥R (X ~) ∥ <2λmin (X ~) ∥R (X ~) ∥θ1 <λmin (X ~).

Следовательно, (λmin (X ~) -θ∥R (X ~) ∥) I> 0.

Согласно (72) получаем (83) ∥g (ΔX) ∥ ≤p (∥ΔX∥ + ∥ΔX∥2λmin (X ~) -θ∥R (X ~) ∥) × ∥X ~ -p / 2A∥2∥X ~ -1∥ + ∥R (X ~) ∥ ≤ (θ∥R (X ~) ∥ + (θ∥R (X ~) ∥) 2λmin (X ~) -θ∥R (X ~) ∥) × (p∥X ~ -p / 2A∥2∥X ~ -1∥) + ∥R (X ~) ∥ = θ∥R (X ~) ∥,

для ΔX∈Ψ, в котором последнее равенство связано с тем, что θ∥R (X ~) ∥ является решением (79).Это g (Ψ) ⊆Ψ. По теореме Брауэра о неподвижной точке существует ΔX∈Ψ такое, что g (ΔX) = ΔX. Следовательно, X ~ + ΔX является решением (1). Более того, по лемме 2 мы знаем, что решение X уравнения (1) единственно. Затем (84) ∥X ~ -X∥ = ∥ΔX∥≤θ∥R (X ~) ∥.

8. Численные примеры

Чтобы проиллюстрировать теоретические результаты предыдущих разделов, в этом разделе даны четыре простых примера, которые были выполнены с использованием MATLAB 7.1. В качестве критерия остановки возьмем εk + 1 (X) = ∥Xk-A * Xk-pA-Q∥ <1.0e-10.

Пример 1.

Рассмотрим матричное уравнение (85) X-A * X-1 / 3A = I,

куда (86) A = A0∥A0∥, A0 = (20,9501).

Предположим, что матрица коэффициентов A возмущена до A ~ = A + ΔA, где (87) ΔA = 10-j∥CT + C∥ (CT + C)

и C — это случайная матрица, сгенерированная функцией randn MATLAB.

Сравним наш собственный результат µ * / ∥X∥≜err2 в теореме 13 с оценкой возмущения ξ * err1, предложенной в [39, теорема 3.1].

Предположение в [39, теорема 3.1] таково: (88) ass1 = ∥A∥2 + ζ-∥A∥-∥ΔA∥> 0.

Предположения теоремы 13 таковы. (89) ass2 = 1-σ> 0, ass3 = l (1-σ) 2ζ (l + σl + 2η + 2 (lσ + η) (η + l)) — ϵ> 0.

Путем расчета перечислим их в таблице 1.

Таблица 1

Проверка допущений для примера 1 с разными значениями j.

j	4	5	6	7
жопа1	0.0455	0,0456	0,0456	0,0456
жопа2	0,9999	1,0000	1,0000	1,0000
жопа3	0.3957	0,3959	0,3959	0,3959

Результаты, перечисленные в таблице 1, показывают, что условия теоремы 3.1 [39] и теоремы 13 выполняются.

По теореме 3.1 в [39] и теореме 13 мы можем вычислить границы относительных возмущений err1, err2 соответственно. Эти результаты усреднены как среднее геометрическое из 10 запусков с произвольным возмущением.Некоторые результаты приведены в таблице 2.

Таблица 2

Границы возмущения для примера 1 с разными значениями j.

j	4	5	6	7
∥X ~ -X∥∥X∥	6.8119 × 10-5	4,2332 × 10-6	4,3287 × 10-7	5,5767 × 10-8
err1	2,6003 × 10-4	2,1375 × 10-5	1,9229 × 10-6	2.7300 × 10-7
err2	8,8966 × 10-5	6,5825 × 10-6	7,2867 × 10-7	9,3455 × 10-8

Результаты, перечисленные в таблице 2, показывают, что оценка возмущения err2, заданная теоремой 13, достаточно точна, в то время как оценка err1 определяется теоремой 3.1 в [39] является консервативным.

Пример 2.

Рассмотрим уравнение (90) X-A * X-3 / 4A = Q,

для (91) А = (0,2-0,20.10,1), Q = (0,89390,29870,19910,6614). Выберите X ~ 0 = 3Q. Пусть приближенное решение X ~ k задано итерационным методом (2), где k — номер итерации. Предположим, что решение X уравнения (1) неизвестно.

Мы сравниваем наш собственный результат с обратной ошибкой, предложенной в теореме 4.1 [39].

Невязка R (X ~ k) ≡Q + A * X ~ k-pA-X ~ k удовлетворяет условиям теоремы 4.1 [39] и теоремы 14.

По теореме 4.1 из [39] мы можем вычислить обратную границу ошибки (92) ∥X ~ kX∥≤ν * ∥R (X ~ k) ∥, где ν * = 2∥X ~ k∥∥X ~ k-1∥1- (3/4) ∥X ~ k-3 / 8AX ~ k-1 / 2∥2. По теореме 14 мы можем вычислить новую обратную границу ошибки (93) X ~ kX∥≤θ∥R (X ~ k) ∥, где θ = 2λmin (X ~ k) θ1 + θ12-4λmin (X ~ k) ∥R (X ~ k) ∥, θ1 = ( 1-∥X ~ k-3 / 8A∥2∥X ~ k-1∥) λmin (X ~ k) + ∥R (X ~ k) ∥.Позволять (94) κ1 = ν * ∥R (X ~ k) ∥∥X ~ k-X∥, κ2 = θ∥R (X ~ k) ∥∥X ~ k-X∥. Некоторые результаты показаны в таблице 3.

Таблица 3

Результаты для Примера 2 с разными значениями k.

к	4	5	6	7
∥X ~ k-X∥	6.2131 × 10-6	1,5830 × 10-7	8,2486 × 10-9	6,0132 × 10-10
ν * ∥R (X ~ k) ∥	2,5930 × 10-5	6,6257 × 10-7	3,5697 × 10-8	2.4646 × 10-9
κ1	4,1734	4,1856	4,3277	4.0986
θ∥R (X ~ k) ∥	7,0053 × 10-6	1.7900 × 10-7	9,6440 × 10-9	6,6583 × 10-10
κ2	1,1275	1,1308	1,1692	1,1073

Из результатов, перечисленных в таблице 3, мы видим, что новая обратная граница ошибки θ∥R (X ~ k) ∥ более резкая и ближе к реальной ошибке, чем обратная граница ошибки ν * ∥R (X ~ k) ∥ в [39].Более того, мы видим, что обратная ошибка θ∥R (X ~) ∥ для приближенного решения X ~, по-видимому, не зависит от обусловленности решения X.

Пример 3.

Рассмотрим матричное уравнение (95) X-A * X-3A = 5I,

куда (96) A = A0∥A0∥, A0 = (20,9501).

Теперь рассмотрим границы возмущения для решения X, когда матрица коэффициентов A возмущена до A ~ = A + ΔA, где (97) ΔA = 10-j∥CT + C∥ (CT + C) и C — это случайная матрица, сгенерированная функцией randn MATLAB.

Условия теоремы 7 выполнены.

По теореме 7 мы можем вычислить оценку относительного возмущения ϱ при различных значениях j. Эти результаты усреднены как среднее геометрическое из 10 запусков с произвольным возмущением. Некоторые результаты приведены в таблице 4.

Таблица 4

Результаты для Примера 3 с разными значениями j.

j	4	5	6	7
∥X ~ -X∥∥X∥	1.1892 × 10-7	2,1101 × 10-8	2,4085 × 10-9	1,6847 × 10-10
ϱ	2,0791 × 10-7	3,5353 × 10-8	3,9573 × 10-9	3.2580 × 10-10

Результаты, перечисленные в таблице 4, показывают, что оценка возмущения ϱ, заданная теоремой 7, довольно точна.

Пример 4.

Рассмотрим матричное уравнение X-A * X-3A = Q, где (98) A = (0,50,55-10-k11), Q = (5115).

По замечанию 12 мы можем вычислить относительное число обусловленности crel (X). Некоторые результаты приведены в таблице 5.

Таблица 5

Результаты для Примера 4 с разными значениями k.

к	1	3	5	7	9
crel (X)	1,2510	1.0991	1.0009	1.0009	1.0009

Таблица 5 показывает, что единственное положительно определенное решение X хорошо обусловлено.

Благодарности

Автор выражает благодарность рецензентам за полезные комментарии. Этот исследовательский проект финансировался Национальным фондом естественных наук Китая (11201263), Фондом естественных наук провинции Шаньдун (ZR2012AQ004) и Независимым инновационным фондом Шаньдунского университета (IIFSDU), Китай.

1 Андерсон, В. Н.-младший Кляйндорфер Б. Кляйндорфер П. R.WoodroofeM. Б. Согласованные оценки параметров линейной системы // Журнал математической статистики 19694020642075MR025349610.1214 / aoms / 1177697286ZBL0213.207032. Андерсон, В. Н.-младший Морли Д.ТраппГ. Э.Бирнес I.MartinC. Ф.СэксР. E. Каскадный предел, закороченный оператор и квадратичное оптимальное управление Линейные схемы, системы и обработка сигналов: теория и применение, 1988, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, Северная Голландия, 37MR1031023ZBL0675.930203 BucyR. С. Априорные оценки для уравнения Риккати Труды симпозиума Беркли по математической статистике и вероятности, Vol. III: Теория вероятностей, 1972 г., Беркли, Калифорния, США, Калифорнийский университет Press, 645656MR04101504 BuzbeeB. Л.ГолубГ. Х. Нильсон С. W. О прямых методах решения уравнений Пуассона Журнал SIAM по численному анализу 19707627656MR028771710.1137 / 0707049ZBL0217.529025 OuelletteD. Дополнения и статистика В. Шур Линейная алгебра и ее приложения 19813618729510.1016 / 0024-3795 (81)

-9MR604341ZBL0455.150126 PuszW.WoronowiczS. L. Функциональное исчисление для полуторалинейных форм и карта очистки Отчеты по математической физике 197582159170MR042030210.1016 / 0034-4877 (75)-0ZBL0327.460327 ZabczykJ. Замечания об управлении системами с дискретным временем и распределенными параметрами SIAM Journal on Control and Optimization197412721735MR041050610.1137 / 0312056ZBL0254.930278 Ферранте А. Леви Б. C. Эрмитовы решения уравнения X = Q + NX-1N * Линейная алгебра и ее приложения 1996 247359373 10.1016 / 0024-3795 (95) 00121-2MR1412761ZBL0876.150119 ГасановВ. I. Примечания к двум оценкам возмущения крайних решений уравнений X ± A * X-1A = QApplied Mathematics and Computing201021651355136210.1016 / j.amc.2010.02.044MR2629937ZBL1222.1502010 ГасановВ. И.Иванов G. О двух оценках возмущения крайних решений уравнений X ± A * X-1A = Q Линейная алгебра и ее приложения 20064131819210.1016 / j.laa.2005.08.013MR2202094ZBL1087.1501611 ГасановВ. Я.Иванов И. Г.УлигФ.Улучшенные оценки возмущений для матричных уравнений X ± A * X-1A = QLinear Algebra и ее приложения 200437911313510.1016 / S0024-3795 (03) 00424-5MR2039300ZBL1039.1500512 LiJ.ZhangY. H. Эрмитово положительно определенное решение и анализ его возмущений для матричного уравнения X-A * X-1A = QMathematica Numerica Sinica2008302129142MR2437986ZBL1174.6538513 Иванов И. Г.ГасановВ. И.МинчевБ. V. О матричных уравнениях X ± A * X-2A = I Линейная алгебра и ее приложения 2001 3261–32744 10.1016 / S0024-3795 (00) 00302-5MR1815949ZBL0979.1500714 Чжан Ю. Об эрмитовых положительно определенных решениях матричного уравнения X-A * X-2A = I Journal of Computational Mathematics2005234408418MR2152339ZBL1087.1502015 ГасановВ. И.Иванов G. По матричному уравнению X-A * X-nA = I Прикладная математика и вычисления 200516821340135610.1016 / j.amc.2004.10.032MR2171783ZBL1081.6503616 ГасановВ. И.Иванов G. Решения и оценки возмущений для матричных уравнений X ± A * X-nA = QApplied Mathematics and Computing 2004156251352510.1016 / j.amc.2003.08.007MR2087529ZBL1063.1501217 LiuX.GaoH. О положительно определенных решениях матричных уравнений Xs ± ATX-tA = InLinear Algebra и ее приложения 2003368839710.1016 / S0024-3795 (02) 00661-4MR1983196ZBL1025.1501818 EngwerdaJ. C. О существовании положительно определенного решения матричного уравнения X + ATX-1A = ILinear Algebra and its Applications19931949110810.1016 / 0024-3795 (93)

-5MR1243822ZBL0798.1501319 EngwerdaJ. C.RanA. C. M. RijkeboerA. L. Необходимые и достаточные условия существования положительно определенного решения матричного уравнения X + ATX-1A = QLinear Algebra и ее приложения199318625527510.1016 / 0024-3795 (93)

-YMR1217209ZBL0778.1500820 GuoC.-H.LancasterP. Итерационное решение двух матричных уравнений Математика вычислений1999682281589160310.1090 / S0025-5718-99-01122-9MR1651757ZBL0940.6503621 SunJ.-g.XuS.-F. Анализ возмущений максимального решения матричного уравнения X + A * X-1A = P. II Линейная алгебра и ее приложения 200336221122810.1016 / S0024-3795 (02) 00490-1MR195546622 ZhanX. Вычисление экстремальных положительно определенных решений матричного уравнения. SIAM Journal on Scientific Computing, 19961751167117410.1137 / S1064827594277041MR1404867ZBL0856.6504423 ZhanX.XieJ. О матричном уравнении X + A * X-1A = I Линейная алгебра и ее приложения 199624733734510.1016 / 0024-3795 (95) 00120-4MR1412759ZBL0863.1500524 Иванов И. Г.Эл-Саед M. Свойства положительно определенных решений уравнения X + A * X-2A = I Линейная алгебра и ее приложения19982791-330331610.1016 / S0024-3795 (98) 00023-8MR1637909ZBL0935.6504125 Жанг Ю. Об эрмитовых положительно определенных решениях матричного уравнения X + A * X-2A = I Линейная алгебра и ее приложения 20037229530410.1016 / S0024-3795 (03) 00530-5MR1999152ZBL1035.1501726 ГасановВ. I. О положительно определенных решениях семейства матричных уравнений X + A * X-nA = Q Журнал вычислительной и прикладной математики 2006193127730110.1016 / j.cam.2005.06.007MR2228719ZBL1096.1500327 CaiJ.ChenG. L. Об эрмитовом положительно определенном решении нелинейного матричного уравнения Xs-A * X-tA = Q Прикладная математика и вычисления20102172448245628 Дуан Х. Ляо А. О существовании эрмитовых положительно определенных решений матричного уравнения Xs-A * X-tA = Q Линейная алгебра и ее приложения 2008 4294673687 10.1016 / j.laa.2008.03.019MR2428122ZBL1143.1501129 YinX.LiuS.FangL. Решения и оценки возмущений для матричного уравнения Xs-A * X-tA = Q Линейная алгебра и ее приложения200943191409142110.1016 / j.laa.2009.05.010MR2555045ZBL1179.1501530 ZhouD.ChenG.WuG.ZhangX. Некоторые свойства нелинейного матричного уравнения Xs-A * X-tA = Q Журнал математического анализа и приложений20123921758210.1016 / j.jmaa.2012.02.046MR291493731 ГасановВ. I. Положительно определенные решения матричных уравнений X ± A * X-qA = Q Линейная алгебра и ее приложения 200540416618210.1016 / j.laa.2005.02.024MR2149658ZBL1078.1501232 WangJ. Ф.ЖангЫ. H.ZhuB. R.Эрмитовы положительно определенные решения матричного уравнения X + A * X-qA = I (q> 0) Mathematica Numerica Sinica20042616172MR206910433 YinX.LiuS.LiT. О положительно определенных решениях матричного уравнения X + A * X-qA = Q (0LTHEXAp ≤ 1) Тайваньский математический журнал201216413911407MR295114434 DuanX.LiaoA.TangB. О нелинейном матричном уравнении X-∑i = 1mAi * X-1Ai = I Линейная алгебра и ее приложения 20084291110121 10.1016 / j.laa.2008.02.014MR2419144ZBL1148.1501235 DuanX.LiC.LiaoA.Решения и анализ возмущений для нелинейного матричного уравнения X + ∑i = 1mAi * X-1Ai = IApplied Mathematics and Computing201121884458446610.1016 / j.amc.2011.10.026MR286211636 HeY.-m.LongJ.-h. Об эрмитовом положительно определенном решении нелинейного матричного уравнения X + ∑i = 1mAi * X-1Ai = IApplied Mathematics and Computing2010216123480348510.1016 / j.amc.2010.04.041MR2661704ZBL1204.1502337 YinX.LiuS. Положительно определенные решения матричных уравнений X ± A * X-qA = Q (q≥1) Вычислительная техника и математика с приложениями201059123727373910.1016 / j.camwa.2010.04.005MR2651848ZBL1198.1501438 XiaoH.WangJ. T. О матричном уравнении X-A * X-pA = Q (p> 1) Китайский журнал инженерной математики 2009262305309MR265497639 LiJ.ZhangY. Анализ возмущений матричного уравнения X-A * X-qA = Q Линейная алгебра и ее приложения 200943191489150110.1016 / j.laa.2009.05.013MR2555051ZBL1173.1500640 РисДж. Теория условий Р.А. Журнал СИАМ по численному анализу19663287310MR021157610.1137 / 0703023ZBL0143.3710141 HornR.А.Джонсон С. R.Темы матричного анализа 2005 г., Пекин, China Post and Telecom, пресса 42 HornR. А.Джонсон С. R.Matrix Analysis, 2005 г. Пекин, ChinaPosts and Telecom press

Untitled — sup / tg

Стр. 2 и 3:: rrcHTtNG FANTA5 \ r ‘,,’ (a OFrlJmil

Стр. 4 и 5: l; u.; 6, oubd » dF @ {! r «, r

Стр. 7 и 8: h Y @ 4l & * 6i! l {yi $! tu6Fu tu,! E- r & ri

Стр. 9 и 10: stai $ litrlJ! Ja6! sd! nDh \! drdd Fi’h6n

Стр. 11 и 12: sdd! 3! vFd 6j,! ow! r 1dd G {‘d! BL!

Стр. 13 и 14: Podmd! q’ut (! 4ebondcbrq {rL! cr brddd4

Стр. 15 и 16: ni4sulmq ndr u touesiddbFe lNb’wJu!

Стр. 17 и 18: ncksht + {o $ cdu € iEy! & diL $ k SNid «.

Стр. 19 и 20: час! jun6sFd $ 6rsddlsbe4d traFodthrcu

Стр. 21 и 22:; m, nnBgnhdedn! + qd ‘! b \ t | n | Th! я @ д д!

Стр. 23 и 24: ti.AE66qdaFaefuFeoibhoodyc ‘odeonrc

Стр. 25 и 26: ne # Fdoid + ali4stsEe, bua, fur! D6rdilt

Стр. 27 и 28: yi’ «& ‘. -D * t» ar » «» sn «nh.-te @

Стр. 29 и 30: ThcDakb | syou5 ‘{dybeiqdiMA hao $ saplE

Стр. 31 и 32: FG’b6 € dcQha, thc $ ltrdJliiBhffi bd

B Стр. 33 и 34: kdu rou b {4do tu c \ shve 6 @ 3h rt

Стр. 35 и 36: i-srdd odir d € tr? L «8 UPE l» ds h

Стр. 37 и 38: hi; nd P.Fnfuft * I’r ‘thc! (Tune

Стр. 45 и 46: E {hdedq

Стр. 47 и 48: d’hoBnlght! Fb & $, qtded sqedde! Rd ror

Стр. 49 и 50: -a’] & ldtrD4theGnqeE’J4igsb llnb4bbf

Стр. 51 и 52: kPkl, (ao6sq’b! ic4lls, y6 sFtinheila ‘

Стр. 53 и 54:

Ya hk u fb! & t Dhfrn Rid i @ Tu 55 56:

Ihe ru {hB d thc bqro, dd in4 6r & u

стр. 57 и 58:

ih jors qi Fr oi ih! RaN dd L !! aE

стр. 59 и 60:

l @ x.nddryJo! d’h € F! 4slJr ‘; i hi [d

Page 61 и 62:

toutJalh’d € Itunad4 @ chft dii * ii’hs

Page 63 и 64:

[c sod h rhe & 63 t5 sF; hd! tu rghti

Стр. 65 и 66:

:! $ 4ntoGetLJ! fu, trdtrhLsdDlghhe. i

Стр. 67 и 68:

dryluldyquiEdiP $, bfufude i bbdtryP

Стр. 69 и 70:

5tE3h h b en $ d *; id txqP € lrtb *

Page 71 и 72:

yx {siady @ Youelontrdge, hl 4dha & Youb «

Page 73 и 74:

hh, {NkNw’htyouhtloF6redb l! oPlE 9010 Page 9010 ElF

:

sasathcicd

Page 77 и 78:

L + 6q o’Ded l] s dd nsdn nd ‘hs, h *

Page 79 и 80:

a; ertu uids! 4! {Ry, id.$ a + hiqnb tgdo

Стр. 81 и 82:

d! reqhlkGfugiEFulfusbt’d4 doid’Pd! E

Стр. 83 и 84:

Y! fuFIFUnedqd’ed ..diib {uds98 @ M4rr4 &

и 86:

ody (r @ bhubd! d ‘{diFlefu.’d3 htri th.

Page 87 и 88:

:., i, «: i + rtu48h a q4nne Ii 6 Nr j

Page 89 и 90:

{hde ii; sc b srP lou @ jEi @ etu8

Page 91 и 92:

ffi .q 1d II -411 * [! 4ldyoue (| lo {n4

Page 93 и 94:

deftN , bbPFldin ‘@ 3’leGP’es! FdBdk !! f

Стр. 95 и 96:

i.sb; 8

Page 99 и 100:

& dEnd! u, sud uFh’d6 * ‘PerbE \; 1, ad;

Стр. 101 и 102:

fte! DPudsI € aMdde @ FEde} пробовать lINd b

Стр. 103 и 104:

Pss. ai [) s hsd 6! fte aqon yornd (M

Page 105 и 106:

lidAgthn € @ dFulgELolnE6hft Prts {v

Page 107 и 108:

yos *, P @ 6ddts & d-‘net’arE dtsbrqric! l

90 110:

4n [‘hd6’ \ itc, $ d] qe4loE & bl # (Mbr), qo

Page 111 и 112:

\ h * doqn4i’E + fuGeedqb t! R! ‘Pi! SJJ (так

Page 113 и 114:

Ya hdn re * r id ntsrs ay tufr! Be n

Page 115 и 116:

diihsbadeaEafohsFskd | ktrb M! & (Qbdfr

Page 117 and 118:

Yd ulrc hts itntur! aqhe

Page 119 и 120:

i; {r.! 4I ELIs4shtjnfhtji.h #! G. ] J

, стр. 121 и 122:

hdy4! ‘Alabgd! RcPeBulsnrdIk thNglrih

Page 123 и 124:

4F + i3abPnNHhdF (k6! Fu sfud & ilrwlbrer08 125104 и08

Стр. 127 и 128:

hiadM.r. {$ Ho » ‘erco i rue.rede itdt

Стр. 129 и 130:

:! IJ’ d! Bdudr po |! H $ tlehudld;!

Стр. 131 и 132:

‘3hi {h.h6dLslsbiicbuh! Udi 3l1udshsh

Стр. 133 и 134:

JB ki4dlqefuEiEft $ Jqh’Jthoqh & sn4e

Page 135 и 136:

lbt..bd4dih blMbh5e b6eNahqp

Стр. 137 и 138:

sqdskolghdd, you $ oddsl | al $ i! rir, d6o

Page 139:

Hh’eGdicE! @ didbHIFE * FAd * djhl

% PDF-1.4 % 1 0 объект > эндобдж 6 0 obj /Заголовок /Предмет / Автор /Режиссер / Ключевые слова / CreationDate (D: 20210715124404-00’00 ‘) / ModDate (D: 20150305102303 + 01’00 ‘) >> эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > эндобдж 5 0 obj > ручей 2014-10-13T18: 50: 21Z2015-03-05T10: 23: 03 + 01: 002015-03-05T10: 23: 03 + 01: 00Mac OS X 10.9.5 Кварцевый PDFContextapplication / pdfuuid: c59c60d5-f47b-4e62-a43b-545476cf148cuuid: 575962fe-c89e-4645-aac6-f2cc72a53e8f конечный поток эндобдж 7 0 объект > эндобдж 8 0 объект > эндобдж 9 0 объект > эндобдж 10 0 obj > эндобдж 11 0 объект > эндобдж 12 0 объект > эндобдж 13 0 объект > эндобдж 14 0 объект > эндобдж 15 0 объект > эндобдж 16 0 объект > эндобдж 17 0 объект > эндобдж 18 0 объект > эндобдж 19 0 объект > эндобдж 20 0 объект > эндобдж 21 0 объект > эндобдж 22 0 объект > эндобдж 23 0 объект > эндобдж 24 0 объект > эндобдж 25 0 объект > эндобдж 26 0 объект > эндобдж 27 0 объект > эндобдж 28 0 объект > эндобдж 29 0 объект > эндобдж 30 0 объект > эндобдж 31 0 объект > эндобдж 32 0 объект > эндобдж 33 0 объект > эндобдж 34 0 объект > эндобдж 35 0 объект > эндобдж 36 0 объект > эндобдж 37 0 объект > эндобдж 38 0 объект > эндобдж 39 0 объект > эндобдж 40 0 объект > эндобдж 41 0 объект > эндобдж 42 0 объект > эндобдж 43 0 объект > эндобдж 44 0 объект > эндобдж 45 0 объект > эндобдж 46 0 объект > эндобдж 47 0 объект > эндобдж 48 0 объект > эндобдж 49 0 объект > эндобдж 50 0 объект > эндобдж 51 0 объект > эндобдж 52 0 объект > эндобдж 53 0 объект > эндобдж 54 0 объект > эндобдж 55 0 объект > эндобдж 56 0 объект > эндобдж 57 0 объект > эндобдж 58 0 объект > эндобдж 59 0 объект > эндобдж 60 0 объект > эндобдж 61 0 объект > эндобдж 62 0 объект > эндобдж 63 0 объект > эндобдж 64 0 объект > эндобдж 65 0 объект > эндобдж 66 0 объект > эндобдж 67 0 объект > эндобдж 68 0 объект > эндобдж 69 0 объект > эндобдж 70 0 объект > эндобдж 71 0 объект > эндобдж 72 0 объект > эндобдж 73 0 объект > эндобдж 74 0 объект > эндобдж 75 0 объект > эндобдж 76 0 объект > эндобдж 77 0 объект > эндобдж 78 0 объект > эндобдж 79 0 объект > эндобдж 80 0 объект > эндобдж 81 0 объект > эндобдж 82 0 объект > эндобдж 83 0 объект > эндобдж 84 0 объект > эндобдж 85 0 объект > эндобдж 86 0 объект > эндобдж 87 0 объект > эндобдж 88 0 объект > эндобдж 89 0 объект > эндобдж 90 0 объект > эндобдж 91 0 объект > эндобдж 92 0 объект > эндобдж 93 0 объект > эндобдж 94 0 объект > эндобдж 95 0 объект > эндобдж 96 0 объект > эндобдж 97 0 объект > эндобдж 98 0 объект > эндобдж 99 0 объект > эндобдж 100 0 объект > эндобдж 101 0 объект > эндобдж 102 0 объект > эндобдж 103 0 объект > эндобдж 104 0 объект > эндобдж 105 0 объект > эндобдж 106 0 объект > эндобдж 107 0 объект > эндобдж 108 0 объект > эндобдж 109 0 объект > эндобдж 110 0 объект > эндобдж 111 0 объект > эндобдж 112 0 объект > эндобдж 113 0 объект > эндобдж 114 0 объект > эндобдж 115 0 объект > эндобдж 116 0 объект > эндобдж 117 0 объект > эндобдж 118 0 объект > эндобдж 119 0 объект > эндобдж 120 0 объект > эндобдж 121 0 объект > эндобдж 122 0 объект > эндобдж 123 0 объект > эндобдж 124 0 объект > эндобдж 125 0 объект > эндобдж 126 0 объект > эндобдж 127 0 объект > эндобдж 128 0 объект > эндобдж 129 0 объект > эндобдж 130 0 объект > эндобдж 131 0 объект > эндобдж 132 0 объект > эндобдж 133 0 объект > эндобдж 134 0 объект > эндобдж 135 0 объект > эндобдж 136 0 объект > эндобдж 137 0 объект > эндобдж 138 0 объект > эндобдж 139 0 объект > эндобдж 140 0 объект > эндобдж 141 0 объект > эндобдж 142 0 объект > эндобдж 143 0 объект > эндобдж 144 0 объект > эндобдж 145 0 объект > эндобдж 146 0 объект > эндобдж 147 0 объект > эндобдж 148 0 объект > эндобдж 149 0 объект > эндобдж 150 0 объект > эндобдж 151 0 объект > эндобдж 152 0 объект > эндобдж 153 0 объект > эндобдж 154 0 объект > эндобдж 155 0 объект > эндобдж 156 0 объект > эндобдж 157 0 объект > эндобдж 158 0 объект > эндобдж 159 0 объект > эндобдж 160 0 объект > эндобдж 161 0 объект > эндобдж 162 0 объект > эндобдж 163 0 объект > эндобдж 164 0 объект > эндобдж 165 0 объект > эндобдж 166 0 объект > эндобдж 167 0 объект > эндобдж 168 0 объект > эндобдж 169 0 объект > эндобдж 170 0 объект > эндобдж 171 0 объект > эндобдж 172 0 объект > эндобдж 173 0 объект > эндобдж 174 0 объект > эндобдж 175 0 объект > эндобдж 176 0 объект > эндобдж 177 0 объект > эндобдж 178 0 объект > эндобдж 179 0 объект > эндобдж 180 0 объект > эндобдж 181 0 объект > эндобдж 182 0 объект > / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC / ImageB / ImageI] >> эндобдж 183 0 объект > ручей x ڝ XɎ7 + & Yt [ôd #) ZIv5FcDXUӗOetw? 8Caz: K) s \ NP «D \ w Ù] s82 @ 9`2W (Hsr` $ ɀ ~? Ok (MXeoĵ℆FB ʷaufDH̠ | ޫ LtwaNP * U

.